Matrice: metoda gauss: metoda gauss. Calculul matricelor cu metoda gauss: exemple

Algebra liniară, care se predă la universități în diverse specialități, combină multe subiecte complexe. Unele dintre ele sunt legate de matrici și de rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metodele Gauss și Gauss-Jordan. Nu toți elevii sunt capabili să înțeleagă aceste subiecte, algoritmi pentru rezolvarea diferitelor probleme. Să înțelegem împreună matricile și metodele Gauss și Gauss-Jordan.

Concepte de bază

O matrice în algebra liniară înseamnă o matrice dreptunghiulară de elemente (un tabel). Seturile de elemente, cuprinse între paranteze, sunt prezentate mai jos. Acestea sunt matricile. Din acest exemplu, observăm că elementele din matricele rectangulare nu sunt doar numere. O matrice poate fi formată din funcții matematice, simboluri algebrice.

Pentru a înțelege câteva noțiuni, să formăm o matrice A cu elementele a_ij. Indicii nu sunt doar litere: i este numărul unui rând din tabel, iar j este numărul unei coloane din zona de intersecție a cărui element a_ij. Astfel, avem o matrice cu elemente precum a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ și t. д. Notăm prin n numărul de coloane și prin m numărul de rânduri. Simbolul m × n reprezintă dimensiunea matricei. Acesta este conceptul care determină numărul de rânduri și coloane dintr-o matrice dreptunghiulară de elemente.

O matrice nu are neapărat mai mult de o coloană și un rând. Dacă dimensiunea este 1 × n, matricea de elemente este de o linie, iar dacă dimensiunea este m × 1, este de o coloană. Dacă numărul de rânduri și numărul de coloane sunt egale, matricea se numește matrice pătrată. Fiecare matrice pătrată are un determinant (det A). Acest termen se referă la numărul care este atribuit unei matrice A.

Alte câteva concepte importante de reținut pentru rezolvarea cu succes a matricelor sunt diagonala principală și diagonala laterală. Diagonala principală a unei matrici este diagonala care coboară spre colțul din dreapta al tabelului din colțul din stânga sus. Diagonala laterală urcă până la colțul din dreapta din colțul din stânga de jos.

O vedere în trepte a matricei

Priviți imaginea de mai jos. Pe ea se poate vedea matricea și schema. Să ne ocupăm mai întâi de matrice. În algebra liniară, o matrice de această formă se numește matrice de pas. Ea are o singură proprietate: dacă un_ij este primul element diferit de zero din al i-lea rând, atunci toate celelalte elemente din matricea aflată sub și la stânga lui a_ij, sunt zero (t. е. toate acele elemente cărora li se poate atribui denumirea literei a_kl, unde k>i, și l

Acum ia în considerare modelul. Aceasta reflectă forma în trepte a matricei. Există 3 tipuri de celule în imagine. Fiecare tip denotă anumite elemente:

• celulele goale sunt elemente zero ale matricei;
• celulele umbrite sunt elemente arbitrare, care pot fi fie zero, fie diferite de zero;
• pătrățelele negre sunt elemente care nu sunt egale cu zero, care se numesc elemente de colț, "pași" (în matricea prezentată în continuare, astfel de elemente sunt cifrele -1, 5, 3, 8).

În rezolvarea matricelor, uneori obținem un rezultat în care "lungimea" pasului este mai mare de 1. Acest lucru este permis. Doar "înălțimea" treptelor este importantă. Acest parametru trebuie să fie întotdeauna egal cu unu într-o matrice eșalonată.

Transformări matriciale în trepte

Orice matrice dreptunghiulară poate fi convertită într-o formă în trepte. Acest lucru se face prin transformări elementare. Printre acestea se numără:

• schimbarea rândurilor;
• Adăugarea la un rând a unui alt rând, dacă este necesar, înmulțit cu un anumit număr (se poate efectua și operația de scădere).

Să luăm în considerare transformările elementare în rezolvarea unei probleme particulare. În figura de mai jos este prezentată o matrice A, pe care dorim să o transformăm într-o formă în trepte.

Pentru a rezolva problema, vom urma un algoritm:

• Este convenabil să efectuăm o transformare pe o matrice al cărei prim element se află în colțul de sus pe partea stângă (t. е. elementul "de frunte") este egal cu 1 sau -1. În cazul nostru, primul element din rândul de sus este 2, așa că schimbăm primul și al doilea rând în locuri.
• Să efectuăm operații de scădere pe rândurile 2, 3 și 4. Ar trebui să obținem zerouri în prima coloană de sub elementul "leading". Pentru a obține acest rezultat: din elementele liniei 2 se scad succesiv elementele liniei 1 înmulțite cu 2; din elementele liniei 3 se scad succesiv elementele liniei 1 înmulțite cu 4; din elementele liniei 4 se scad succesiv elementele liniei 1 înmulțite cu 4; din elementele liniei 4 se scad succesiv elementele liniei 1.
• În continuare, vom lucra cu matricea prescurtată (fără coloana #1 și fără rândul #1). Noul element "de frunte" la intersecția dintre a doua coloană și al doilea rând este -1. Rândurile nu trebuie să fie rearanjate, așa că rescriem fără modificări prima coloană și primul și al doilea rând. Efectuăm operații de scădere pentru a obține zerouri în a doua coloană sub elementul "conducător": din elementele din al treilea rând, scădem succesiv elementele din al doilea rând înmulțite cu 3; din elementele din al patrulea rând, scădem succesiv elementele din al doilea rând înmulțite cu 2.
• Trebuie doar să schimbăm ultimul rând. Se scad succesiv elementele celui de-al treilea rând din elementele acestuia. Astfel, obținem o matrice în trepte.

Reducerea matricelor la o formă eșalonată este utilizată în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare (SLE) prin metoda Gaussiană. Înainte de a analiza această metodă, să explicăm termenii legați de SLU.

Matrici și sisteme de ecuații liniare

Matricele sunt utilizate în multe științe diferite. Utilizând tabele de numere, este posibilă, de exemplu, rezolvarea ecuațiilor liniare combinate pentru a forma un sistem folosind metoda Gauss. Să începem prin a introduce câțiva termeni și definițiile lor și să vedem cum o matrice este alcătuită dintr-un sistem care combină mai multe ecuații liniare.

SLU - mai multe ecuații algebrice combinate cu necunoscute de gradul întâi și fără termeni reprezentând produsul necunoscutelor.

Soluția la SLU este reprezentată de valorile găsite ale necunoscutelor, care, atunci când sunt substituite de ecuațiile din sistem, devin identități.

Un SLU comun este un astfel de sistem de ecuații care are cel puțin o soluție.

Un SLU incompatibil este un sistem de ecuații care nu are soluții.

Cum se construiește o matrice bazată pe un sistem de ecuații liniare comune? Există noțiuni cum ar fi matricea principală și matricea extinsă a sistemului. Pentru a obține matricea principală a sistemului, trebuie să tabulăm toți coeficienții la necunoscute. Matricea expandată se obține prin prin adăugarea la matricea principală, coloana de termeni liberi (această coloană conține elementele cunoscute la care se echivalează fiecare ecuație din sistem). Puteți înțelege acest întreg proces examinând imaginea de mai jos.

Primul lucru pe care îl vedem în imagine este un sistem de ecuații liniare. Elementele sale sunt: a_ij - coeficienți numerici, x_j - necunoscute, b_i - termeni liberi (unde i = 1, 2, ..., m, și j = 1, 2, ..., n). Al doilea element din imagine este matricea de bază a coeficienților. Din fiecare ecuație se scriu coeficienții pe o linie. Matricea rezultată are atâtea rânduri câte ecuații are sistemul. Numărul de coloane este egal cu cel mai mare număr de coeficienți din orice ecuație. Al treilea element din imagine este o matrice extinsă cu o coloană de termeni liberi.

Informații generale despre metoda lui Gauss

În algebra liniară, metoda Gauss este metoda clasică de rezolvare a SLU. Numele este dat după Carl Friedrich Gauss, care a trăit în secolele al XVIII-lea și al XIX-lea. Acesta este unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile. Esența metodei Gauss constă în efectuarea unor transformări elementare asupra unui sistem de ecuații algebrice liniare. Folosind transformări, SLU se reduce la un sistem echipotent de formă triunghiulară, din care se pot afla toate variabilele.

Este de remarcat faptul că Carl Friedrich Gauss nu este descoperitorul formulei clasice metoda de soluționare sisteme de ecuații liniare. Metoda a fost inventată mult mai devreme. Prima descrierea sa Se găsește în Enciclopedia cunoștințelor matematicienilor chinezi antici, numită "Matematica în 9 cărți".

Exemplu de rezolvare a unui SLU folosind metoda Gaussiană

Să luăm ca exemplu rezolvarea sistemelor folosind metoda Gaussiană. Să lucrăm cu SLU prezentat în imagine.

Algoritm de soluție:

1. Folosind o variație simplă a metodei Gaussian reducem sistemul la o formă în trepte, dar mai întâi obținem o matrice extinsă a coeficienților numerici și a termenilor liberi.
2. Pentru a rezolva o matrice folosind metoda Gaussiană (t. е. pentru a o reduce la o formă în trepte), scădem în succesiune din elementele celei de-a doua și a treia linii elementele primei linii. Vom obține zerouri în prima coloană de sub elementul "lider". Apoi schimbați a doua și a treia linie locuri pentru pentru comoditate. La elementele ultimului rând se adaugă secvențial elementele celui de-al doilea rând înmulțite cu 3.
3. Ca urmare a calculului matricei prin metoda Gauss obținem o matrice eșalonată de elemente. Din acest termen derivă un nou sistem de ecuații liniare. Prin inversarea metodei gaussiene găsim valorile termenilor necunoscuți. Din ultima ecuație liniară vedem că x₃ egal cu 1. Înlocuiți această valoare în a doua linie a sistemului. Se obține ecuația x₂ - 4 = -4. Rezultă că x₂ este egal cu 0. Înlocuiește x₂ și x₃ în prima ecuație a sistemului: x₁ + 0 +3 = 2. Termenul necunoscut este -1.

Răspuns: Folosind metoda Gauss, matriceală, am găsit valorile necunoscutelor; x₁ = -1, x₂ = 0, x₃ = 1.

Metoda Gauss-Jordan

În algebra liniară, există și metoda Gauss-Jordan. Este considerată o modificare a metodei Gauss și este utilizată în găsirea matricelor inverse, calcularea termenilor necunoscuți ai sistemelor pătratice de ecuații liniare algebrice. Metoda Gauss-Jordan este convenabilă, deoarece rezolvă SLU într-un singur pas (fără operații înainte și înapoi).

Să începem cu termenul "matrice inversă". Să presupunem că avem o matrice A. Inversa sa va fi o matrice A^-1, condiția este în mod necesar îndeplinită: A × A^-1 = A^-1 × A = E, t. е. produsul acestor matrici este egal cu matricea unitate (elementele diagonalei principale a matricei unitate sunt unu, iar restul elementelor sunt zero).

O nuanță importantă: În algebra liniară există o teoremă de existență a matricei inverse. Condiție suficientă și necesară pentru existența matricei A^-1 - nedegenerată a matricei A. Dacă este nedegenerată, det A (determinantul) este diferit de zero.

Etapele de bază pe care se bazează metoda Gauss-Jordan

1. Priviți primul rând al unei anumite matrice. Puteți începe să aplicați metoda Gauss-Jordan dacă prima valoare nu este zero. Dacă primul element este 0, atunci schimbați rândurile astfel încât primul element să aibă o valoare diferită de zero (de preferință, numărul ar trebui să fie mai aproape de unu).
2. Se împart toate elementele din primul rând cu primul număr. Veți avea un rând care începe cu un.
3. Din al doilea rând, se scade primul rând înmulțit cu primul element al celui de-al doilea rând, t. е. Veți obține un rând care începe cu zero. Procedați la fel cu restul rândurilor. Împărțiți fiecare rând cu primul său element care nu este zero pentru a obține o diagonală.
4. Ca rezultat se va obține matricea triunghiulară superioară prin metoda Gauss-Jordan. Diagonala sa principală este reprezentată de unu. Colțul de jos este umplut cu zerouri, iar colțul de sus cu o varietate de valori.
5. Din penultima linie se scade ultima linie înmulțită cu factorul dorit. Ar trebui să obțineți un rând de zerouri și un rând de unu. Se repetă pentru restul rândurilor. După toate transformările se va obține o matrice unitară.

Un exemplu de găsire a unei matrice inverse prin metoda Gauss-Jordan

Pentru a calcula matricea inversă, scrieți matricea expandată A|E și efectuați transformările necesare. Să luăm un exemplu simplu. În figura de mai jos este prezentată matricea A.

Soluție:

1. Mai întâi, să găsim determinantul matricei prin metoda Gauss (det A). Dacă acest parametru nu este egal cu zero, matricea va fi considerată nedegenerată. Acest lucru ne va permite să concluzionăm că A are exact A^-1. Pentru a calcula determinantul, transformăm matricea într-o formă în trepte folosind transformări elementare. Să calculăm numărul K, egal cu numărul de permutări ale rândurilor. Am interschimbat rândurile doar o singură dată. Calculați determinantul. Valoarea sa este egală cu produsul dintre elementele diagonalei principale înmulțite cu (-1)^K. Rezultatul calculului: det A = 2.
2. Să realizăm o matrice expandată prin adăugarea unei matrice unitare la matricea inițială. Matricea de elemente rezultată va fi utilizată pentru a găsi matricea inversă prin metoda Gauss-Jordan.
3. Primul element din prima linie este egal cu 1. Suntem mulțumiți de acest lucru, t. к. nu este nevoie să rearanjăm rândurile și să împărțim acest rând cu orice număr. Să începem să lucrăm cu a doua și a treia linie. Pentru ca primul element din al doilea rând să devină 0, scădeți din al doilea rând primul rând înmulțit cu 3. Din a treia linie se scade prima (nu este necesară înmulțirea).
4. În matricea rezultată, al doilea element al celui de-al doilea rând este -4, iar al doilea element al celui de-al treilea rând este -1. Să schimbăm replicile pentru comoditate. Din a treia linie se scade a doua linie, înmulțită cu 4. Împărțim a doua linie cu -1, iar a treia linie cu 2. Se obține matricea triunghiulară superioară.
5. Din a doua linie, scădeți ultima linie înmulțită cu 4, iar din prima linie, scădeți ultima linie înmulțită cu 5. Apoi, se scade din prima linie a doua linie, înmulțită cu 2. În partea stângă avem o matrice unitară. Matricea inversă este în dreapta.

Exemplu de rezolvare a unui SLU folosind metoda Gauss-Jordan

Figura prezintă un sistem de ecuații liniare. Găsirea valorilor variabilelor necunoscute folosind matricea, metoda Gauss-Jordan.

Soluție:

1. Să creăm o matrice extinsă. Pentru a face acest lucru, să punem coeficienții și termenii liberi în tabel.
2. Rezolvarea matricei prin metoda Gauss-Jordanian. Din linia 2 se scade linia 1. De la linia 3 să scădem linia 1 înmulțită anterior cu 2.
3. Schimbați rândurile 2 și 3.
4. Din linia 3 se scade linia 2 înmulțită cu 2. Se împarte al treilea rând obținut cu -1.
5. De la linia nr. 2 se scade linia nr. 3.
6. Din rândul 1 se scade rândul 2, înmulțit cu -1. În partea laterală avem o coloană formată din cifrele 0, 1 și -1. De aici se trage concluzia că x₁ = 0, x₂ = 1 și x₃ = -1.

Dacă doriți, puteți verifica soluția prin înlocuirea valorilor calculate în ecuații:

• 0 - 1 = -1, prima identitate a sistemului este adevărată;
• 0 + 1 + (-1) = 0, a doua identitate a sistemului este adevărată;
• 0 - 1 + (-1) = -2, cea de-a treia identitate din sistem este adevărată.

Concluzie: Utilizând metoda Gauss-Jordan, am găsit soluția corectă a sistemului pătratic care combină ecuații algebrice liniare de tip combinativ.

Calculatoare online

Viața a devenit mult mai ușoară pentru tinerii de astăzi, care studiază algebră liniară și care au absolvit o facultate. Până în urmă cu câțiva ani, trebuia să se găsească singuri soluțiile sistemelor care utilizează metodele Gauss și Gauss-Jordan. Unii elevi s-au descurcat bine la rezolvarea problemelor, în timp ce alții au fost confuzi, au făcut greșeli și au cerut ajutorul colegilor de clasă. În prezent, puteți utiliza calculatoare online pentru a vă face temele. Pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare, pentru a căuta matrici inverse, se scriu programe care nu numai că arată răspunsurile corecte, ci și cursul de rezolvare a unei anumite probleme.

Există câteva resurse pe internet cu calculatoare online încorporate. Matricele gaussiene, sistemele de ecuații sunt rezolvate de aceste programe în câteva secunde. Elevii trebuie doar să specifice parametrii necesari (de exemplu, numărul de ecuații, numărul de variabile).