Cum se găsește produsul matricelor. Înmulțirea matricelor. Produsul scalar al matricelor. Produsul a trei matrici

Cu matricile (tabele cu elemente numerice) se pot face diferite operații de calcul. Unele sunt înmulțiri cu un număr, un vector, o altă matrice, mai multe matrici. Uneori produsul este greșit. Un rezultat eronat este rezultatul necunoașterii regulilor operațiilor de calcul. Să aflăm cum trebuie făcută înmulțirea.

Matrice și număr

Să începem cu cel mai simplu, prin înmulțirea unui tabel de numere cu o anumită valoare. De exemplu, avem o matrice A cu elementele a_ij (i este numărul rândurilor și j este numărul coloanelor) și numărul e. Produsul unei matrice cu numărul e este matricea B cu elementele b_ij, care se calculează cu ajutorul formulei:

b_ij = e × a_ij.

Т. е. pentru a obține un element b₁₁ trebuie să luați un element a₁₁ și se înmulțește cu numărul necesar pentru a obține b₁₂ este necesar pentru a găsi produsul elementului a₁₂ și numerele e și t. д.

Să rezolvăm problema 1 prezentată în imagine. Pentru a obține matricea B, se înmulțesc pur și simplu elementele din A cu 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. Scriem această valoare în matricea B la intersecția coloanei 1 și a rândului 1.
2. a₂₁ × 3 = 15. Am obținut un element b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = -6. Se obține elementul b₁₂. Scrieți-o în matricea B în punctul în care coloana 2 și rândul 1 se intersectează.
4. a₂₂ × 3 = 9. Acest rezultat este elementul b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Punem acest număr în matrice în locul elementului b₁₃.
6. a₂₃ × 3 = -3. Ultimul număr obținut este elementul b₂₃.

Astfel, obținem un tablou dreptunghiular cu elemente numerice de.

Vectori și condiția de existență a produsului matricial

În disciplinele matematice există o noțiune de "vector". Acest termen se referă la un set ordonat de valori dintr-un₁ până la un_n. Ele se numesc coordonate în spațiul vectorial și se scriu sub forma unei coloane. Există, de asemenea, termenul de "vector transpus". Componentele sale sunt situate în ca un rând.

Vectorii pot fi numiți matrici:

• vector-columnă este o matrice construită dintr-o singură coloană
• Un vector de rânduri este o matrice care include un singur rând.

Atunci când se efectuează operații de înmulțire pe matrici, este important să ne amintim că există o condiție de existență a unui produs. Calculul A × B poate fi efectuat numai atunci când numărul de coloane din tabelul A este egal cu numărul de rânduri din tabelul B. Matricea finală rezultată în urma calculului are întotdeauna numărul de rânduri din tabelul A și numărul de coloane din tabelul B.

Nu se recomandă să se interschimbe matrici (multiplicatori) în înmulțirea. De obicei, produsul lor nu corespunde legii comutative (translaționale) a înmulțirii, și anume. е. rezultatul operației A × B nu este egal cu rezultatul operației B × A. Această caracteristică se numește necomutativitatea produsului de matrici. În unele cazuri, rezultatul înmulțirii A × B este egal cu rezultatul înmulțirii B × A, t. е. produsul este comutativ. Matrici, la care egalitatea A × B = B × A este îndeplinită, se numește permutare. Exemple de astfel de tabele pot fi găsite mai jos.

Înmulțirea cu un vector coloană

Atunci când efectuați înmulțirea matricei cu un vector coloană, asigurați-vă că țineți cont de condiția existenței produsului. Numărul de coloane (n) din tabel trebuie să fie egal cu numărul de coordonate care alcătuiesc vectorul. Rezultatul calculului este un vector transformat. Numărul său de coordonate este egal cu numărul de rânduri (m) din tabel.

Cum se calculează coordonatele vectorului y, dacă există matricea A și vectorul x? Au fost create formule pentru calcule:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n,

......................................,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n,

unde x₁, ..., x_n - sunt coordonate din vectorul x, m este numărul de rânduri din matrice și numărul de coordonate din noul vector y, n este numărul de coloane din matrice și numărul de coordonate din vectorul x, a₁₁, a₁₂, ..., a_mn - elementele matricei A.

Astfel, pentru a obține cea de-a i-a componentă a unui nou vector se efectuează produsul scalar. Se ia al i-lea vector de rând din matricea A și se înmulțește cu vectorul disponibil x.

Rezolvați problema nr. 2. Produsul matricei pe vector se poate afla deoarece A are 3 coloane, iar x este format din 3 coordonate. Ca rezultat ar trebui să obținem o coloană vectorială cu 4 coordonate. Să folosim formulele de mai sus:

1. Să calculăm y₁. 1 × 4 + (-1) × 2 + 0 × (-4). Valoarea totală este egală cu 2.
2. Calculați y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4). Pentru calcul se obține 0.
3. Să calculăm y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (-4). Suma produselor acestor multiplicatori este 6.
4. Să calculăm y₄. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (-4). Coordonata este egală cu -8.

Înmulțirea rândului vectorului cu matricea

Nu se poate înmulți o matrice formată din mai multe coloane cu un vector-rând. În astfel de cazuri, condiția de existență a produsului nu este valabilă. Dar înmulțirea unui șir de vectori cu o matrice este posibilă. Această operație de calcul se efectuează atunci când numărul de coordonate din vector și numărul de rânduri din tabel coincid. Rezultatul produsului vectorial asupra matricei este un nou rând vectorial. Numărul de coordonate trebuie să fie egal cu numărul de coloane din matrice.

Calculul primei coordonate a unui nou vector implică înmulțirea rândului vectorului și a primei coloane a vectorului din tabel. A doua coordonată se calculează în mod similar, dar în loc de prima coloană vectorială, se ia a doua coloană vectorială. Iată formula generală de calcul a coordonatelor:

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + ... + a_mkx_m,

unde y_k - coordonata din vectorul y, (k este cuprins între 1 și n), m este numărul de rânduri din matrice și numărul de coordonate din vectorul x, n este numărul de coloane din matrice și numărul de coordonate din vectorul y, a cu indici alfanumerici sunt elementele matricei A.

Produs de matrici dreptunghiulare

Acest exercițiu de calcul poate părea complicat. Cu toate acestea, înmulțirea poate fi efectuată cu ușurință. Să începem cu definiția. Produsul dintre o matrice A cu m linii și n coloane și matricea B cu n linii și p coloane este matricea C cu m linii și p coloane, în care elementul c_ij este produsul dintre elementele celui de-al i-lea rând din tabelul A și a j-a coloană din tabelul B. În termeni mai simpli, elementul c_ij - este produsul scalar al celui de-al i-lea rând vectorial din tabelul A și al j-lea vector coloană din tabelul B.

Acum să vedem în practică cum se găsește produsul matricelor de formă dreptunghiulară. Rezolvați problema 3 în acest scop. Condiția de existență a unui produs este îndeplinită. Să trecem la calcularea elementelor c_ij:

1. Matricea C va fi formată din 2 rânduri și 3 coloane.
2. Se calculează elementul c₁₁. Pentru a face acest lucru, efectuați produsul scalar al rândului nr. 1 din matricea A și al coloanei nr. 1 din matricea B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Procedați în mod similar, modificând doar rândurile, coloanele (în funcție de indicele elementului).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Elemente calculate. Acum, tot ce rămâne de făcut este să facem un bloc dreptunghiular din aceste numere.

Înmulțirea a trei matrici: partea teoretică

Este posibil să se găsească produsul a trei matrici? Această operațiune de calcul este fezabilă. Rezultatul poate fi în mai multe moduri. De exemplu, există 3 mese pătrate (de aceeași ordine) - A, B și C. Pentru a calcula produsul, puteți:

1. Înmulțiți mai întâi A și B. Rezultatul se înmulțește apoi cu C.
2. Găsiți mai întâi produsul dintre B și C. Apoi se înmulțește matricea A cu rezultatul obținut.

Dacă doriți să înmulțiți matrici dreptunghiulare, mai întâi asigurați-vă că această operație de calcul este posibilă. Lucrările A × B și B × C ar trebui să existe.

Înmulțirea în etape nu este o eroare. Există un astfel de lucru ca "asociativitate a înmulțirii matricelor". Acest termen semnifică egalitatea (A × B) × C = A × (B × C).

Înmulțirea a trei matrici: practică

Matrici pătrate

Începem prin a înmulți mici matrici pătrate. Figura de mai jos arată problema numărul 4 pe care trebuie să o rezolvăm.

Folosim proprietatea de asociativitate. Să înmulțim mai întâi fie A și B, fie B și C. Rețineți un singur lucru: multiplicatorii nu trebuie să fie interschimbate, adică. е. Nu înmulțiți B × A sau C × B. Această înmulțire ne va da un rezultat eronat.

Cum se face acest lucru.

Primul pas. Pentru a afla produsul total, trebuie mai întâi să înmulțim A cu B. La înmulțirea a două matrici vom urma aceleași reguli ca mai sus. Deci, rezultatul înmulțirii lui A și B este o matrice D cu 2 rânduri și 2 coloane, adică. е. o matrice dreptunghiulară va conține 4 elemente. Să le găsim prin efectuarea calculului:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Rezultat intermediar gata.

Pasul doi. Acum se înmulțește matricea D cu matricea C. Rezultatul trebuie să fie o matrice pătrată G cu 2 rânduri și 2 coloane. Calculați elementele:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Astfel, rezultatul produsului matricelor pătrate este un tabel G cu elementele calculate.

Matrici dreptunghiulare

Problema nr. 5 este prezentată în figura de mai jos. Înmulțiți matricile dreptunghiulare și găsiți soluția.

Verificați dacă este îndeplinită condiția de existență a produselor A × B și B × C. Ordinele matricelor indicate ne permit să efectuăm înmulțirea. Să trecem acum la rezolvarea problemei.

Primul pas.

Primul pas. Înmulțiți B cu C pentru a obține D. Matricea B are 3 rânduri și 4 coloane, iar matricea C are 4 rânduri și 2 coloane. Aceasta înseamnă că obținem o matrice D cu 3 rânduri și 2 coloane. Să calculăm elementele din. Iată două exemple de calcule:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Să continuăm să rezolvăm problema. Ca urmare a calculelor ulterioare, găsim valori ale lui d₂₁, d₂₂, d₃₁ și d₃₂. Aceste elemente sunt 0, 19, 1 și, respectiv, 11. Scrieți aceste valori în matricea dreptunghiulară.

Pasul doi. Se înmulțește A cu D pentru a obține matricea finală F. Vor fi 2 rânduri și 2 coloane în el. Calculați elementele:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Să formăm o matrice dreptunghiulară care este rezultatul final al înmulțirii a trei matrici.

Introducere în produsul direct

Este destul de dificil de înțeles produsul Kronecker al matricelor. Acesta are o denumire suplimentară, produs direct. Ce se înțelege prin acest termen? Să presupunem că avem un tabel A de ordinul m × n și un tabel B de ordinul p × q. Produsul direct al matricei A pe matricea B este o matrice de ordinul mp × nq.

Avem 2 matrici pătrate A, B care sunt reprezentate în imagine. Prima matrice are 2 coloane și 2 rânduri, iar a doua matrice are 3 coloane și 3 rânduri. Se poate observa că matricea obținută prin produsul direct are 6 linii și exact același număr de coloane.

Cum se calculează prin produs direct elementele unei noi matrice? Este ușor de găsit răspunsul la această întrebare analizând imaginea. Prima umplere în primul rând. Se ia primul element din rândul de sus al tabelului A și se înmulțește succesiv cu elementele primului rând din tabelul B. Apoi se ia al doilea element din primul rând al tabelului A și se înmulțește succesiv cu elementele din primul rând al tabelului B. Pentru a completa al doilea rând, luăm din nou primul element din primul rând al tabelului A și îl înmulțim cu elementele din al doilea rând al tabelului B.

Matricea finală obținută prin produsul direct se numește matrice bloc. Dacă analizați din nou figura, veți observa că rezultatul nostru este format din 4 blocuri. Toate acestea includ elementele matricei B. În plus, un element din fiecare bloc este înmulțit cu un anumit element al unei matrice. În primul bloc, toate elementele sunt înmulțite cu un₁₁, în cel de-al doilea de un₁₂, În cel de-al treilea bloc de către un₂₁, în cel de-al patrulea de către un₂₂.

Determinantul unui produs

Atunci când analizăm subiectul înmulțirii matricelor, merită să luăm în considerare și termenul "determinant al unui produs de matrici". Care este determinantul? Acesta este un element important caracteristică a unei matrice pătrate, o anumită valoare care este atribuită acelei matrice. Notația literală a determinantului este det.

Pentru o matrice A, formată din două coloane și două rânduri, determinantul se găsește cu ușurință. Există o mică formulă care reprezintă diferența dintre produsele unor elemente specifice:

det A = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁.

Considerăm un exemplu de calcul al determinantului pentru un tabel de ordinul doi. Există o matrice A în care a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 și a₂₂ = 1. Folosim formula de calcul a determinantului

det A = 2 × 1 - 3 × 5 = 2 - 15 = -13.

Pentru matrici 3 × 3, determinantul poate fi calculat folosind formula mai complexă. Acesta este prezentat mai jos pentru matricea A:

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

Pentru a memora formula, a fost inventată regula triunghiului, care este ilustrată în imagine. În primul rând, elementele diagonalei principale sunt înmulțite. La valoarea obținută se adaugă produsele elementelor indicate de unghiurile triunghiurilor cu laturile roșii. Apoi se scade produsul elementelor diagonalei laterale și se scad produsele elementelor indicate de unghiurile triunghiurilor cu laturile albastre.

Să vorbim acum despre determinantul unui produs matricial. Există o teoremă care afirmă că acest exponent este egal cu produsul determinanților cuantelor. Să ne uităm la un exemplu pentru a arăta cum. Avem o matrice A cu elementele a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 și a₂₂ = 1 și matricea B cu elementele b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 și b₂₂ = 2. Găsiți determinanții matricelor A și B, produsul A × B și determinantul acestui produs.

Pasul de soluție.

Primul pas. Calculați determinantul lui A: det A = 2 × 1 - 3 × 1 = -1. În continuare, calculați determinantul pentru B: det B = 4 × 2 - 5 × 1 = 3.

Pasul doi. Găsiți produsul A × B. Să notăm noua matrice cu C. Calculați elementele sale:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Pasul trei. Calculați determinantul lui C: det C = 11 × 7 - 16 × 5 = -3. Aceasta se compară cu valoarea care ar fi putut fi obținută prin înmulțirea determinanților matricelor inițiale. Numerele sunt aceleași. Teorema de mai sus este adevărată.

Rangul produsului

Rangul unei matrice este o caracteristică care reflectă numărul maxim de rânduri sau coloane liniar independente. Pentru a calcula rangul, efectuați transformări elementare ale matricei:

• permutarea a două rânduri paralele;
• înmulțirea tuturor elementelor unei anumite serii din tabel cu un număr diferit de zero;
• se adaugă la elementele unui rând elementele celuilalt rând înmulțite cu un anumit număr.

După transformări elementare, priviți numărul de rânduri care nu sunt egale cu zero. Numărul lor este rangul matricei. Luați în considerare exemplul anterior. Acesta a prezentat 2 matrici: A cu elementele a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 și a₂₂ = 1 și B cu elemente din b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 și b₂₂ = 2. De asemenea, vom folosi matricea C, care este rezultatul înmulțirii lui. Dacă efectuăm transformări elementare, nu vor exista rânduri zero în matricile simplificate. Aceasta înseamnă că atât rangul tabelului A, cât și cel al tabelului B și cel al tabelului C sunt 2.

Să acordăm acum o atenție deosebită rangului produsului de matrici. Există o teoremă care afirmă că rangul produsului tabelelor care conțin elemente numerice nu depășește rangul niciunuia dintre factori. Acest lucru poate fi demonstrat prin. Fie A o matrice de dimensiune k × s și B o matrice de dimensiune s × m. Produsul dintre A și B este egal cu C.

Studiați figura de mai sus. Se prezintă prima coloană a matricei C și notația simplificată a acesteia. Această coloană este o combinație liniară a coloanelor care alcătuiesc matricea A. Același lucru se poate spune despre orice altă coloană din matricea dreptunghiulară C. Astfel, subspațiul format de vectorii coloană din tabelul C se află în subspațiul format de vectorii coloană din tabelul A. Din acest motiv, dimensionalitatea subspațiului nr. 1 nu depășește dimensionalitatea subspațiului nr. 2. De aici rezultă că rangul coloanelor din tabelul C nu depășește rangul coloanelor din tabelul A, adică. е. r(C) ≤ r(A). Dacă raționăm în mod similar, putem vedea că liniile matricei C sunt combinații liniare ale liniilor matricei B. De aici rezultă inegalitatea r(C) ≤ r(B).

Cum se găsește produsul matricelor este un subiect destul de complex. Poate fi ușor de stăpânit, dar pentru a obține un astfel de rezultat trebuie să se petreacă mult timp pentru a memora toate regulile și teoremele existente.