Aria unui trunchi de con. Formulă și exemplu

Figurile de rotație în geometrie primesc o atenție deosebită în studiul caracteristicilor și proprietăților lor. Unul dintre ele este trunchiul de con. Acest articol își propune să răspundă la întrebarea despre formula de calcul a ariei unui trunchi de con.

Despre ce fel de formă vorbim??

Înainte de a descrie aria unui trunchi de con, trebuie mai întâi să dăm o definiție geometrică precisă a formei. Un trunchi de con este un con obținut prin tăierea vârfului unui con regulat cu un plan. Există mai multe aspecte care trebuie subliniate în această definiție. În primul rând, planul secțiunii trebuie să fie paralel cu planul bazei conului. În al doilea rând, figura inițială ar trebui să fie un con de formă circulară. Desigur, aceasta ar putea fi eliptică, hiperbolică sau de alte forme, dar în acest articol ne vom limita discuția la conul circular. Acesta din urmă este prezentat în figura de mai jos.

Este ușor de ghicit că aceasta poate fi obținută nu numai prin intermediul secțiunii plane, ci și prin operație de rotație. Luăm un trapez cu două unghiuri drepte și îl rotim în jurul laturii adiacente acestor unghiuri drepte. Ca urmare, baza trapezului va deveni raza bazei trunchiului de con, iar latura laterală înclinată a trapezului va contura suprafața conică.

Forma formei este extinsă

Având în vedere suprafața unui trunchi de con, este util să se dea baleiajul acestuia, adică imaginea suprafeței unei figuri tridimensionale pe un plan. Mai jos este o derulare a figurii în cauză cu parametri arbitrari.

Se poate observa că aria figurii este formată din trei componente: două cercuri și un segment circular trunchiat. Evident, pentru a determina suprafața necesară, trebuie să adunăm suprafețele tuturor acestor forme. Rezolvăm această problemă în secțiunea următoare.

Aria trunchiului de con

Pentru a facilita înțelegerea ecuațiilor următoare, introducem următoarea notație:

• r1, r2 sunt razele bazei mari și, respectiv, ale bazei mici;
• h este înălțimea figurii;
• g - formantul conului (lungimea laturii înclinate a trapezului).

Aria bazei unui trunchi de con este ușor de calculat. Să scriem expresiile respective:

S_o1 = pi*r₁²;

S_o2 = pi*r₂².

Aria părții segmentului circular este mai complicată de determinat. Dacă ne imaginăm că centrul acestui sector circular nu este decupat, atunci raza sa va fi egală cu valoarea lui G. Este ușor de calculat, dacă luăm în considerare corespondentul similar triunghiuri dreptunghice a unui con. Este egal cu:

G = r₁*g/(r₁-r₂).

Atunci, aria unui întreg sector circular, construit pe o rază G și care se sprijină pe un arc de cerc de lungime 2*pi*r₁, va fi egal cu:

S₁ = pi*r₁*G = pi*r₁²*g/(r₁-r₂).

Acum se determină aria sectorului circular mic S₂, care se scade din S₁. Este egal cu:

S₂ = pi*r₂*(G - g) = pi*r₂*(r₁*g/(r₁-r₂) - g) = pi*r₂²*g/(r₁-r₂).

Aria suprafeței tronconice trunchiate S_b este egală cu diferența S₁ și S₂. Se obține:

S_b = S₁ - S₂ = pi*r₁²*g/(r₁-r₂) - pi*r₂²*g/(r₁-r₂) = pi*g*(r₁+r₂).

În ciuda unor calcule oarecum greoaie, avem o expresie destul de simplă pentru suprafața laterală.

Prin însumarea suprafețelor bazelor și S_b, obținem formula pentru aria trunchiului de con:

S = S_o1 + S_o2 + S_b = pi*r₁² + pi*r₂² + pi*g*(r₁+r₂).

Astfel, pentru a calcula valoarea lui S a figurii în cauză, este necesar să se cunoască cei trei parametri liniari ai acesteia.

Exemplu de sarcină

Un con circular drept, cu raza de 10 cm și înălțimea de 15 cm, a fost aplatizat, astfel încât se obține un trunchi de con regulat. Având în vedere că distanța dintre bazele trunchiului de con este de 10 cm, trebuie să aflăm aria suprafeței acestuia.

Pentru a folosi formula pentru aria unui trunchi de con, trebuie să găsim trei parametri. Una pe care o știm:

r₁ = 10 cm.

Celelalte două nu sunt greu de calculat dacă luăm în considerare triunghiuri dreptunghiulare similare care rezultă din secțiunea axială a conului. Având în vedere condiția problemei, obținem:

r₂ = 10*5/15 = 3,33 cm.

În cele din urmă, ghidajul trunchiului de con g va fi egal cu:

g = √(10² + (r₁-r₂)²) = 12,02 cm.

Acum putem înlocui valorile lui r₁, r₂ și g în formula pentru S:

S = pi*r₁² + pi*r₂² + pi*g*(r₁+r₂) = 851,93 cm².

Suprafața necesară este de aproximativ 852 cm².