Formula lui geron, sau cum se găsește aria unui triunghi cu trei laturi

Un triunghi este cea mai simplă figură închisă din plan, formată din doar trei segmente interconectate. În problemele de geometrie este adesea necesar să se determine aria acestei figuri. Ce trebuie să faceți este necesar să se cunoască? În acest articol răspundem la întrebarea cum să găsim aria unui triunghi folosind cele trei laturi.

Formula generală

Orice școlar știe că aria unui triunghi este produsul dintre lungimea unei laturi date, a, și jumătate din înălțimea h, lăsată pe latura aleasă. Formula corespunzătoare este prezentată mai jos: S = a*h/2.

Se poate folosi această formulă, dacă se cunosc cel puțin două laturi și valoarea unghiului dintre ele. În acest caz, înălțimea h este ușor de calculat cu ajutorul funcțiilor trigonometrice, de exemplu, sinus. Dar nu toată lumea știe cum să găsească aria unui triunghi folosind cele trei laturi.

Formula lui Heron

Exact această formulă este răspunsul la întrebarea cum să găsiți aria unui triunghi cu trei laturi. Înainte de a o scrie, notăm lungimile segmentelor unei forme arbitrare ca fiind a, b și c. Formula lui Geron se scrie în următoarea formă: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Unde p este semiperimetrul figurii, adică p = (a+b+c)/2.

În ciuda ușurinței sale, este ușor de memorat formula pentru aria S. Pentru a face acest lucru, mai întâi calculați semiperimetrul triunghiului, apoi scădeți din el o lungime a fiecărei laturi a figurii, înmulțițiți toate diferențele obținute și semiperimetrul însuși. La sfârșit, luați rădăcina pătrată a produsului.

Această formulă poartă numele lui Heron din Alexandria, care a trăit la începutul erei noastre. Istoria modernă sugerează că acest filozof a fost cel care a aplicat pentru prima dată expresia de mai sus pentru a efectua calculele relevante. Formula este publicată în lucrarea sa "Metric", care datează din anul 60 d.Hr. Rețineți că unele lucrări ale lui Arhimede, care a trăit cu două secole mai devreme decât Heron, conțin indicii că filosoful grec cunoștea deja formula. În plus, chinezii antici știau și cum să găsească aria unui triunghi, cunoscând trei laturi.

Este important de menționat că problema poate fi rezolvată fără a cunoaște existența formulei lui Heron. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenăm o pereche de altitudini în triunghi și să folosim formula generală de la punctul anterior pentru a realiza sistemul de ecuații corespunzător.

Expresia lui Geron poate fi folosită pentru a calcula ariile unor poligoane arbitrare, împărțindu-le mai întâi în triunghiuri și calculând lungimile diagonalelor rezultate.

Un exemplu de soluție la problemă

Știind cum se găsește aria unui triunghi cu trei laturi, să fixăm cunoștințele obținute prin rezolvarea următoarei probleme. Fie ca laturile figurii să fie 5 cm, 4 cm și 3 cm. Zona care trebuie găsită este.

Trei laturi ale triunghiului sunt cunoscute, deci putem folosi formula lui Geron. Calculăm semiperimetrul și diferențele necesare, avem:

• p = (a+b+c)/2 = 6 cm;
• p-a = 1 cm;
• p-b = 2 cm;
• p-c = 3 cm.

Apoi obținem zona: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = √(6*1*2*3) = 6 cm².

Triunghiul dat în enunțul problemei este un triunghi dreptunghic, ceea ce este ușor de verificat, dacă folosim teorema lui Pitagora. Deoarece aria unui astfel de triunghi este jumătate din produsul catetelor, obținem S = 4*3/2 = 6 cm².

Valoarea primită coincide cu una similară pentru formula lui Heron, care confirmă dreptatea ultimei.