Legea lui maxwell. Distribuția vitezei lui maxwell

Studiul proprietăților stării de agregare gazoasă a materiei este unul dintre domeniile importante ale fizicii moderne. Considerând gazele la scară microscopică, se pot obține toți parametrii macroscopici ai sistemului. Acest articol va aborda o întrebare importantă în teoria cinetică moleculară a gazelor: care este distribuția vitezei moleculelor lui Maxwell.

Schiță istorică

Ideea unui gaz ca sistem format din particule microscopice în mișcare datează din Grecia antică. Știința a avut nevoie de mai mult de 1700 de ani pentru a o dezvolta.

Daniel Bernoulli este considerat fondatorul teoriei moderne a cineticii moleculare (MCT) a gazelor. În 1738, a publicat o lucrare intitulată "Hidrodinamică". În această lucrare, Bernoulli a expus ideile MCT, care sunt folosite și astăzi. De exemplu, omul de știință credea că gazele sunt alcătuite din particule care se mișcă haotic în toate direcțiile. Numeroasele coliziuni ale particulelor cu pereții vaselor sunt percepute ca presiuni în gaze. Vitezele particulelor sunt strâns legate de temperatura sistemului. Comunitatea oamenilor de știință nu a acceptat ideile îndrăznețe ale lui Bernoulli, deoarece legea conservării energiei nu fusese încă stabilită.

Ulterior, mulți oameni de știință au lucrat la construirea unui model cinetic al gazelor. Printre aceștia se numără Rudolf Clausius, care în 1857 a creat un model simplu de gaz. În ea, omul de știință s-a concentrat asupra existenței gradelor de libertate translaționale, rotaționale și vibraționale în molecule.

În 1859, în timp ce studia lucrările lui Clausius, James Maxwell a formulat ceea ce este cunoscut sub numele de distribuția vitezei moleculelor lui Maxwell. În esență, Maxwell a confirmat ideile lui MLC, susținându-le cu un aparat matematic. Ludwig Boltzmann (1871) a sintetizat mai târziu concluziile distribuției lui Maxwell. El a postulat o distribuție statistică mai generală a moleculelor în termeni de viteze și energii. Acum este cunoscută sub numele de distribuția Maxwell-Boltzmann.

Gazul ideal. Principiile de bază ale MCT

Pentru a înțelege funcția de repartiție Maxwell, trebuie să avem o înțelegere clară a sistemelor pentru care se aplică această funcție. Vorbim despre un gaz ideal. În fizică, acest concept se referă la o substanță fluidă care constă din particule aproape adimensionale, fără energie potențială. Aceste particule se deplasează cu viteze mari, astfel încât comportamentul lor este complet determinat de energia cinetică. În plus, distanțele dintre particule sunt prea mari în comparație cu dimensiunile lor, astfel încât acestea din urmă sunt neglijate.

Gazele ideale sunt descrise în cadrul MCT. Principalele sale postulate sunt următoarele:

• Sistemele gazoase sunt formate dintr-un număr mare de particule libere;
• particulele se deplasează haotic, cu viteze diferite, în direcții diferite, de-a lungul unor traiectorii drepte;
• particulele se ciocnesc în mod elastic cu pereții vaselor (probabilitatea ca particulele să se ciocnească între ele este mică, din cauza dimensiunilor mici ale acestora);
• temperatura sistemului este determinată în mod unic de energia cinetică medie a particulelor, care se conservă în cazul echilibrului termodinamic.

Legea de distribuție a lui Maxwell

Dacă cineva ar fi în posesia unui dispozitiv care ar putea măsura viteza unei singure molecule de gaz, ar fi surprins de experimentul. Experimentul ar arăta că fiecare moleculă din orice sistem gazos se mișcă cu o viteză perfect arbitrară. Într-un sistem unic în echilibru termic cu viteza mediului înconjurător, se vor găsi atât molecule foarte lente, cât și molecule foarte rapide.

Legea de distribuție a lui Maxwell pentru viteza moleculelor de gaz este un instrument pentru a determina probabilitatea de a găsi particule cu o anumită viteză v în sistemul studiat. Funcția corespunzătoare arată după cum urmează:

f(v) = (m/(2*pi*k*T))^3/2*4*pi*v²*exp(-m*v²/(2*k*T)).

În această expresie m este masa unei particule, k este constanta Boltzmann, T - temperatura absolută. Astfel, dacă se cunoaște natura chimică a particulelor (valoarea m), funcția f(v) este determinată în mod unic de temperatura absolută. Funcția f(v) se numește densitate de probabilitate. Dacă luăm o integrală a acesteia pentru o anumită limită de viteze (v; v+dv), vom obține numărul de particule N_i, care au viteze în acest interval. Astfel, dacă luăm o integrală a funcției de densitate de probabilitate f(v) pentru limitele de viteză de la 0 la ∞, obținem numărul total de molecule N din sistem.

O reprezentare grafică a funcției de densitate de probabilitate f(v)

Funcția de densitate de probabilitate are o formă matematică ușor complexă, astfel încât nu este ușor să se reprezinte comportamentul acesteia la o anumită temperatură. Puteți rezolva această problemă prin reprezentarea ei pe un grafic bidimensional. O vedere schematică a graficului de distribuție Maxwell este prezentată în figura de mai jos.

Putem observa că pornește de la zero, deoarece viteza v a moleculelor nu poate avea valori negative. Graficul se termină undeva în regiunea vitezelor mari, scăzând ușor spre zero (f(∞)->0). O altă trăsătură frapantă este că curba netedă este asimetrică, ea scade pentru viteze mai mici mai abruptă.

O particularitate importantă a comportamentului funcției de densitate de probabilitate f(v) este prezența unui maxim distinct pe ea. Conform sensului fizic al funcției, acest maxim corespunde celei mai probabile valori a vitezei moleculelor din sistemul gazos.

Vizualizări importante ale vitezei pentru funcția f(v)

Funcția de densitate de probabilitate f(v) și reprezentarea sa grafică ne permit să definim trei viteze importante.

Primul tip de viteză, care este evident și care a fost menționat mai sus, este viteza cea mai probabilă v₁. În grafic, valoarea sa corespunde maximului funcției f(v). Aceasta este viteza sau valorile apropiate acesteia vor avea majoritatea particulelor din sistem. Pentru a o calcula nu este foarte dificil, este suficient să luați prima derivată a vitezei funcției f(v) și să o echivalați cu zero. Ca urmare a operațiilor matematice de mai sus, obținem rezultatul final:

v₁ = √(2*R*T/M).

Aici R este constanta universală a gazelor, M este masa molară a moleculelor.

Cel de-al doilea tip de viteză este valoarea sa medie pentru toate cele N particule. Se notează cu v₂. Se poate calcula, dacă se integrează funcția v*f(v) cu toate vitezele. Rezultatul integrării marcate este următoarea formulă:

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)).

Deoarece raportul 8/pi>2, viteza medie este întotdeauna puțin mai mare decât viteza cea mai probabilă.

Oricine are un pic de cunoștințe de fizică înțelege că viteza medie de v₂ a moleculelor ar trebui să aibă o mare importanță într-un sistem de gaze. Cu toate acestea, aceasta este o judecată eronată. Mult mai importantă este viteza medie pătratică. Să o notăm cu v₃.

Prin definiție, viteza medie pătratică este suma pătratelor vitezelor individuale a tuturor particulelor, împărțită la numărul acestor particule și luată ca rădăcină pătrată. Ea poate fi calculată pentru distribuția Maxwell prin determinarea integralei tuturor vitezelor din funcția v²*f(v). Formula pentru viteza medie pătratică va lua forma:

v₃ = √(3*R*T/M).

Egalitatea arată că această viteză este mai mare decât valoarea v₂ și v₁ pentru orice sistem de gaz.

Astfel, toate tipurile de viteze considerate în graficul de distribuție Maxwell se află fie la o extremă, fie la dreapta acesteia.

Importanța v3

S-a menționat mai sus că viteza medie pătratică este mai importantă pentru înțelegerea proceselor fizice și a proprietăților unui sistem gazos decât simpla viteză medie v₂. Acest lucru este adevărat deoarece energia cinetică a unui gaz ideal depinde exact de valoarea lui v₃, nu pe v₂.

Dacă considerăm un gaz ideal de un atom, pentru acesta este valabilă următoarea expresie

m*v₃²/2 = 3/2*k*T.

Aici fiecare parte a ecuației reprezintă energia cinetică a unei particule de masă m. De ce valoarea lui v din expresia₃, și nu viteza medie v₂? Foarte simplu: pentru determinarea energiei cinetice a fiecărei particule se ridică la pătrat viteza sa individuală v, apoi se adună toate vitezele și se împarte la numărul de particule N. Adică însăși procedura de determinare a energiei cinetice conduce la valoarea vitezei medii pătratice.

Dependența funcției f(v) de temperatură

Mai sus am constatat că funcția de densitate de probabilitate a vitezelor moleculelor depinde în mod neechivoc de temperatură. Cum se va modifica funcția dacă măriți sau micșorați valoarea lui T? Graficul de mai jos vă va ajuta să răspundeți la această întrebare.

Se poate observa că încălzirea unui sistem închis duce la o deformare a vârfului și la deplasarea acestuia spre viteze mai mari. O creștere a temperaturii duce la o creștere a tuturor tipurilor de viteză și la o scădere a densității de probabilitate a fiecărui tip de viteză. Valoarea vârfului scade deoarece numărul de N particule din sistemul închis se conservă.

Apoi să rezolvăm câteva probleme pentru a consolida materialul teoretic obținut.

Problema cu moleculele de azot din aer

Este necesar să se calculeze vitezele v₁, v₂ și v₃ pentru azot în aer la temperatura de 300 K (aproximativ 27 ^oC).

Masa molară a azotului N₂ este egal cu 28 g/mol. Folosind formulele de mai sus obținem

v₁ = √(2*R*T/M) = √(2*8,314*300/0,028) = 422 m/s;

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)) = √(8*8,314*300/(3,14*0,028)) = 476 m/s;

v₃ = √(3*R*T/M) = √(3*8.314*300/0.028) = 517 m/s.

Problema cu oxigenul într-un cilindru

Oxigenul din butelie se afla la o anumită temperatură T₁. Cilindrul a fost apoi plasat într-o cameră mai rece. Cum se va modifica graficul de distribuție a vitezei Maxwell pentru moleculele de oxigen atunci când sistemul ajunge la echilibru termodinamic?

Reamintind teoria, putem răspunde la întrebarea problemei în felul următor: valorile tuturor tipurilor de viteze ale moleculelor vor scădea, vârful funcției f(v) se va deplasa spre stânga, devenind mai îngust și mai înalt.