Semnalul analitic: concept, definiție, formule și aplicații

În matematică și procesare, termenul de semnal analitic (pe scurt - C, AS) este o funcție complexă, care nu are componente negative de frecvență. Părțile reale și imaginare ale acestui fenomen sunt funcții reale legate între ele prin transformarea Hilbert. Un semnal analitic este un fenomen destul de comun în chimie, a cărui esență este similară cu definiția matematică a lui a acestui concept.

Reprezentări

Reprezentarea analitică a unei funcții reale este un semnal analitic care conține funcția originală și transformată Hilbert a acesteia. Această reprezentare facilitează multe manipulări matematice. Ideea de bază este că componentele negative de frecvență ale transformării Fourier (sau spectrului) unei funcții reale sunt redundante datorită simetriei hermitiene a spectrului. Aceste componente negative de frecvență pot fi eliminate fără pierderea de informații, cu condiția să se dorească să se trateze în schimb funcția complexă. Acest lucru face ca anumite atribute ale funcției să fie mai accesibile și facilitează ieșirea metodelor de modulație și demodulație, cum ar fi lățimea de bandă unică.

Componente negative

Atâta timp cât funcția manipulată nu are componente de frecvență negative (adică este încă analitică), conversia de la complex la real este o simplă chestiune de eliminare a părții imaginare. Reprezentarea analitică este o generalizare a conceptului de vector: în timp ce un vector este limitat la o amplitudine, o fază și o frecvență invariabile în timp, analiza calitativă a unui semnal analitic permite parametrii care variază în timp.

Amplitudinea instantanee, faza instantanee și frecvența în unele aplicații sunt utilizate pentru a măsura și detecta caracteristicile locale C. O altă aplicație a reprezentării analitice se referă la demodularea semnalelor modulate. Coordonatele polare separă în mod convenabil efectele modulației de amplitudine și ale modulației de fază (sau de frecvență) și demodulează în mod eficient anumite tipuri de.

Apoi, un simplu filtru trece-jos cu coeficienți reali poate tăia o parte de interes. Un alt motiv este de a reduce frecvența maximă, ceea ce scade frecvența minimă pentru eșantionare fără aliasing. Deplasarea frecvenței nu subminează adecvarea matematică a reprezentării. Așadar, în acest sens, down-converted-ul este încă analitic. Cu toate acestea, recuperarea reprezentării reale nu mai este o simplă chestiune de extragere a componentei reale. Poate fi necesară o transformare de supraeșantionare și, dacă semnalul este eșantionat (timp discret), poate fi necesară și o interpolare (supraeșantionare) pentru a evita suprapunerea.

Variabile

Conceptul este clar definit pentru fenomenele cu o singură variabilă, care sunt de obicei temporale. Această temporalitate îi derutează pe mulți matematicieni începători. Pentru două sau mai multe variabile, C analitic poate fi definit în diferite moduri, iar mai jos sunt prezentate două abordări.

Părțile reală și imaginară ale acestui fenomen corespund celor două elemente ale unui semnal monogenic cu valoare vectorială, așa cum este definit pentru fenomene similare cu o singură variabilă. Cu toate acestea, monogenul poate fi extins la un număr arbitrar de variabile într-un mod simplu, creând o funcție vectorială (n + 1) -dimensională pentru cazul semnalelor cu n variabile.

Transformarea semnalului

Se poate transforma un semnal real într-un semnal analitic prin adăugarea unei componente imaginare (Q) care este o transformare Hilbert a componentei reale.

De altfel, acest lucru nu este nou pentru procesarea sa digitală. Una dintre metodele tradiționale de generare a benzii laterale unice AM (SSB), metoda de punere în fază, implică crearea de semnale prin generarea unei transformări Hilbert a semnalului audio într-o rețea analogică de rezistoare-capacitoare. Deoarece are doar frecvențe pozitive, poate fi ușor transformat într-un semnal RF modulat cu o singură bandă laterală.

Formule de definiție

Expresia analitică a unui semnal este o funcție complexă holomorfă definită pe limita semiplanului complex superior. Limita semiplanului superior coincide cu randomul, deci C este dat de corespondența fa: R → C. Încă de la mijlocul secolului trecut, când Denis Gabor a propus în 1946 utilizarea acestui fenomen pentru Prin învățarea unei amplitudini și faze constante, semnalul a găsit multe aplicații. Particularitatea acestui fenomen a fost subliniată de [Vak96], unde s-a arătat că numai o analiză calitativă a semnalului analitic satisface condițiile fizice de amplitudine, fază și frecvență.

Progrese recente

În ultimele decenii, a apărut un interes pentru studiul semnalelor în mai multe dimensiuni, motivat de problemele apărute în domenii care variază de la procesarea imaginilor/video la procesele oscilatorii multidimensionale din fizică, cum ar fi undele seismice, electromagnetice și gravitaționale. A fost în general acceptat faptul că pentru o generalizare adecvată a analizei analitice C (analiză calitativă) în cazul dimensiunilor multiple trebuie să ne bazăm pe o construcție algebrică care extinde numerele complexe obișnuite într-un mod convenabil. Astfel de construcții sunt denumite de obicei numere hipercomplexe [SKE].

În cele din urmă, ar trebui să fie posibil să se construiască un semnal analitic hipercomplex fh: Rd → S, unde este reprezentat un sistem algebric hipercomplex general care extinde în mod natural toate proprietățile necesare pentru a obține amplitudinea și faza instantanee.

Investigarea

O serie de lucrări au abordat diverse aspecte legate de alegerea corectă sistemul de numere hipercomplexe, definiția transformării Fourier hipercomplexe și a transformării Hilbert fracționare pentru a studia amplitudinea și faza instantanee. Cele mai multe dintre aceste lucrări s-au bazat pe proprietăți ale diferitelor spații, cum ar fi Cd, quaternioni, algebrele Clyron și construcțiile Cayley-Dixon.

În cele ce urmează, vom enumera doar câteva dintre lucrările dedicate studiului semnalului în mai multe dimensiuni. Din câte știm, primele lucrări privind metoda multidimensională au fost realizate la începutul anilor 1990. Printre acestea se numără lucrările lui Ell [Ell92] privind transformările hipercomplexe; lucrările lui Bülow privind generalizarea metodei răspunsului analitic (semnal analitic) la mai multe dimensiuni [BS01]; și lucrările lui Felsberg și Sommer privind semnalele monogenice.

Perspective viitoare

Se așteaptă ca semnalul hipercomplex să extindă toate proprietățile utile pe care le avem în cazul unidimensional. Mai presus de toate, trebuie să putem extrage și să generalizăm amplitudinea și faza instantanee pentru măsurătorile. În al doilea rând, spectrul Fourier al unui semnal analitic complex este susținut doar la frecvențe pozitive, astfel încât ne așteptăm ca transformata Fourier hipercomplexă să aibă spectrul său hipervalorificat susținut doar într-un anumit cadran pozitiv al spațiului hipercomplex. Prin urmare, acest lucru este foarte important.

În al treilea rând, părțile conjugate ale unui concept de semnal analitic complex sunt asociate cu transformata Hilbert și ne-am putea aștepta ca și componentele conjugate din spațiul hipercomplex să fie asociate cu o combinație a transformărilor Hilbert. În cele din urmă, într-adevăr, un semnal hipercomplex trebuie definit ca o extensie a unei funcții holomorfe hipercomplexe de mai multe variabile hipercomplexe definite pe frontiera unei forme din spațiul hipercomplex.

Rezolvăm aceste probleme în următoarea ordine. În primul rând, începem prin a considera formula integrală Fourier și arătăm că transformata Hilbert în 1-D este legată de formula integrală Fourier modificată. Acest fapt ne permite să determinăm amplitudinea, faza și frecvența instantanee fără a ne referi la sisteme de notație hipercomplexe și funcții holomorfe.

Modificarea integralelor

Procedăm prin generalizarea formulei integrale Fourier modificate la mai multe dimensiuni și determinăm toate componentele defazate necesare pe care le putem asambla într-o amplitudine și fază instantanee. În al doilea rând, ne întoarcem la problema existenței funcțiilor holomorfe de mai multe variabile hipercomplexe. Urmând [Sch93], constatăm că o algebră hipercomplexă comutativă și asociativă generată de un set de generatori eliptici (e2i = -1) este un spațiu adecvat pentru ca semnalul analitic hipercomplex să trăiască, numim o astfel de algebră hipercomplexă un spațiu Schaefer și o notăm cu Sd.

Prin urmare, un semnal analitic hipercomplex se definește ca o funcție holomorfă pe limita unui polidisc / semiplan superior într-un spațiu hipercomplex, pe care îl numim spațiu Scheffers general și îl notăm cu Sd. Apoi observăm validitatea formulei integrale Cauchy pentru funcțiile Sd → Sd, care se calculează pe hipersuprafața din interiorul polidiscului din Sd și derivăm transformările Hilbert fracționare corespunzătoare care leagă componentele conjugate hipercomplexe. În cele din urmă, se constată că transformata Fourier cu valori în spațiul Scheffers este susținută numai la frecvențe nenulegative. Mulțumită acestui articol ați aflat ce este un semnal analitic.