Diferențiere și integrare: definiție, concept, forme

Diferențiind și integrând este o ecuație care conține derivatele. Acestea din urmă, dacă aderăm la proprietățile matematice, se împart în ordinare și parțiale. Derivatele reprezintă rata de variație, iar ecuația diferențială descrie relația dintre o mărime care se modifică constant pe măsură ce se rezolvă, formând noi variabile.

Un profesor universitar poate naviga cu ușurință prin operațiile complexe ale integralelor, le poate converti într-o singură integrală și apoi poate demonstra calculul folosind metoda inversă. Cu toate acestea, capacitatea de a reaminti rapid detaliile formulelor complexe nu este disponibilă pentru toată lumea, deci este recomandabil să vă reîmprospătați memoria sau să descoperiți materiale noi.

Semnificație și aplicații de bază

În literatura științifică, derivata se definește ca fiind viteza cu care o funcție suferă o transformare în funcție de una dintre variabilele sale. Diferențierea este esența calculului, care poate fi comparată cu începutul căutării unei tangente la un punct. După cum știm, aceasta din urmă este de diferite tipuri și necesită formule de calcul pentru a găsi. Să presupunem că doriți să aflați panta tangentei la graficul din punctul P. Cum facem acest lucru? Este suficient să tragem o linie în formă de arc de cerc prin obiectul marcat și să o ridicăm în sus până când obținem o linie de divizare.

O funcție f în x se numește diferențiabilă în punctul x = a dacă derivata f `(a) există în fiecare notație a domeniului său. Să dăm un exemplu:

f `(a) = lim (h=0) × f(a + h) - f(a)/h

Pentru a diferenția și integra ecuația astfel încât să poată fi localizată în orice punct x, nu trebuie să fie discontinuă. Construind în prealabil o reprezentare schematică, puteți verifica validitatea afirmației. Acesta este motivul pentru care aria f `(x) se definește prin existența limitelor sale.

Să presupunem că y = f(x) este o funcție de x, atunci derivata lui f(x) este dată de dy/dx. Este, de asemenea, definită ca o ecuație liniară, unde este necesar să se găsească datele necesare despre y.

Totuși, dacă în primul caz căutăm derivata lui y, atunci în cazul următor trebuie să găsim f(x) din x.

d/dx × (f(x)) la sau df/dx la

Prin urmare, notația pentru rata de variație a unei funcții f(x) în raport cu x în punctul a de pe suprafața sa.

Dacă cunoaștem derivata lui f` care este diferențiabilă în domeniul său, putem găsi valoarea lui f. În calculul integral, numim f antiderivată sau primitivă a funcției f `. Metoda de calcul este cunoscută sub numele de antidiferențiere sau integrare.

Tipuri și forme

O ecuație cu unul sau mai mulți termeni care include derivatele variabilei dependente asupra variabilei independente este cunoscută sub numele de ecuație diferențială. Cu alte cuvinte, constă într-un set de valori numerice, comune sau parțiale, care suferă modificări în timpul procesului de soluționare.

În acest moment există următoarele tipuri de ecuații diferențiale.

Ordinară. O egalitate simplă care depinde direct de o variabilă:

dy/dx + 5x = 5y

Cu derivate parțiale:

dy/dx + dy/dt = x3-t3

d2y/dx2 - c2 × d2y/dt2

Coeficient senior. Această formă se caracterizează prin participarea la ordinul unei ecuații diferențiale, așa cum se demonstrează în exemplul de mai jos, unde este 3. Numărul este considerat a fi cel mai mare prezent:

d3y/dx2 + 5 × dy/dx + y = √x

Funcțiile pot fi de mai multe feluri, dar este de preferat să se folosească un singur citat cu formulele caracteristice pentru integrare și diferențiere.

y` = dy/dx

y``` = d2y/dx2

y``` = d3y/dx3

Linear. Variabila din ecuație este dată la puterea unu. Graficul acestui tip de funcție este, de obicei, o linie dreaptă. De exemplu, (3x + 5), dar (x³ + 4x²) nu este de acest tip, deoarece necesită o soluție diferită.

dy/dx + xy = 5x

Neliniar. Orice integrare și diferențiere de serii cu două moduri de obținere a egalității - se referă la punctul de vedere în cauză:

d2y/dx2- ln y = 10

Metode rapide de obținere a rezultatului

Nu este suficient să te uiți la formular pentru a-ți da seama cum să o lucrezi și să o pui în practică. În prezent, există mai multe moduri de a rezolva a ecuației diferențiale.

Asta:

1. Divizarea unei variabile. Se face atunci când exemplul poate fi reprezentat ca dy / dx = f(y) g(x). Particularitatea este că f și g sunt funcții aparținând valorilor lor. Din această cauză, problema trebuie transformată: 1/ f(y) dy = g(x) dx. Și numai după aceea treceți la punctul următor.
2. Metoda factorului integrator. Se utilizează atunci când exemplul este dy / dx + p(x) y = q(x), unde p și q sunt funcții doar de x.

Calculul diferențial de ordinul întâi arată ca y`+ P(x) y = Q (x), deoarece conține funcțiile necesare și derivata lui y. Creșterile ulterioare ale denumirii operează pe același principiu. De exemplu, derivatele unei funcții necunoscute pot fi fie parțiale, fie regulate.

Integrale nedeterminate

Dacă vi se dă viteza bicicletei în funcție de timp, puteți calcula distanța parcursă folosind minutele petrecute?? Sarcina pare a fi o povară imposibilă, dar integralele vă pot ajuta să tratați aceste proprietăți cât mai eficient posibil, dându-vă rezultatul.

Literatura științifică subliniază faptul că acestea sunt inversul diferențierii. Într-adevăr, integrarea este o metodă de a pune lucrurile cap la cap. Acesta conectează particulele între ele pentru a crea ceva nou - un întreg. Cheia pentru orice exemplu similar este de a găsi integralele nedeterminate și de a verifica rezultatele integrării prin diferențiere. Acest lucru va ajuta la evitarea erorilor inutile.

Dacă aveți de gând să căutați aria oricărei curbe aleatoare, cum ar fi y=f(x), atunci folosiți metoda luată în considerare. Amintiți-vă că numai grija vă va salva de la a face o greșeală.

Formule pentru soluție

Așadar, după ce am introdus conceptul de bază al diferențierii și integrării - calculul înapoi prin funcții, este necesar să trecem în revistă pe scurt câteva noțiuni de bază. Acestea sunt prezentate mai jos.

Reguli generale de calcul

Funcțiile integrale, cum ar fi f (x), pot fi ușor transpuse în egalitate prin prezentarea ecuației sub forma: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Aici F (x) se numește antiderivată sau primitivă. f (x) este o funcție integrantă. dx - acționează ca un agent numeric suplimentar. C este o constantă integrală sau arbitrară. x - reprezintă partea de egalitate.

Din afirmația de mai sus, putem concluziona că integrarea și diferențierea seriilor sunt două procese opuse unul față de celălalt. Împreună, ele acționează ca un tip de operație pentru a obține rezultatul final efectuat asupra ecuației în sine.

Acum, că știm mai multe despre particularitățile calculului, este recomandabil să subliniem principalele diferențe, necesare pentru o mai bună înțelegere:

1. Diferențierea și integrarea sunt capabile să satisfacă în același timp regula liniarității.
2. Operațiile au ca scop găsirea unei soluții cât mai exacte, dar implică constrângeri în definirea lor.
3. Prin diferențierea unui polinom, rezultatul este cu 1 mai mic decât gradul funcției, în timp ce în cazul integrării, rezultatul se transformă în altul, acționând în schema inversă.
4. Cele două tipuri de soluții, așa cum s-a spus mai devreme, sunt opuse una față de cealaltă. Acestea se calculează cu ajutorul formulelor de integrare și diferențiere.
5. Derivata oricărei funcții este unică, dar, pe de altă parte, două integrale, în același exemplu, pot diferi printr-o constantă. Această regulă este cea care prezintă principala dificultate în realizarea sarcinilor.
6. În ceea ce privește derivatele, putem considera derivatele la un punct. Aproape ca și în cazul integralelor, acestea dau funcții pe un interval.
7. Din punct de vedere geometric, derivata descrie rata de variație a unei mărimi în raport cu alta, în timp ce integrala nedeterminată reprezintă o curbă. Este dispusă în direcție paralelă și are tangente la intersecția liniilor neregulate cu altele care sunt ortogonale la axa care reprezintă variabila.

Metode de adăugare

Dacă vă confruntați cu problema modului în care se aplică sumarea la operațiile matematice de integrare diferențială, trebuie să vă familiarizați temeinic cu formulele de bază. Ele sunt axiomatice în educație, motiv pentru care sunt folosite în mod universal. Rețineți că, în timp ce le aplicați la propriile exemple, formulele sunt adevărate numai dacă încep cu i = 1.

Rezolvarea "în părți"

Uneori, funcția necesită o abordare neconvențională pentru a ajunge la rezultatul final și a satisface condițiile de egalitate. Integrarea și diferențierea poștală a seriilor se bazează pe identitatea exprimată: ∫ f(x) g′(x) dx = f (x) g(x) - ∫ f`(x) g(x) dx

Algoritmul pentru tehnica în cauză este următorul:

1. Exprimați funcția integrată ca produs a două expresii. Se notează una dintre ele prin f (x), iar cealaltă prin g′ (x).
2. Acum procedați la identificarea celorlalte două formule care pot fi aplicate în prima etapă. Seria se va schimba. Prin diferențiere transformăm f ′ (x) pentru a obține expresia f (x). Se trece la cealaltă parte - g (x) se integrează în g′(x). În acest caz, dx rămâne în forma sa inițială și nu este utilizat.
3. Introduceți expresiile rezultate în formulă pe rând. Astfel se încheie procedura, iar acum puteți încerca să evaluați noua integrală din partea dreaptă, deoarece acum este mult mai ușor de înțeles.

Anterior, această metodă presupunea integrarea pe părți folosind o matrice. Metoda a avut succes, dar a necesitat mult timp, de aceea este folosită mai rar în zilele noastre, în cazuri speciale, când este practic imposibil de găsit soluția. Trebuie doar să punem f și g′ în prima linie și să calculăm f ′ și g în a doua linie.

De ce avem nevoie de integrare pe părți??

Situațiile sunt diferite. Uneori, soluțiile se dovedesc a fi mult mai complicate decât la prima vedere. Prin urmare, este necesar să subliniem principalele probleme întâlnite adesea în integrarea și diferențierea manuală a seriilor de putere. Să luăm în considerare două reguli de bază.

În primul rând, partea pe care intenționăm să o integrăm, adică partea aleasă pentru g ′(x), trebuie să putem transforma. Faceți acest lucru este important, pe cât posibil rapid. Ideea este că integrarea complexă pentru g conduce rareori la o integrală îmbunătățită, crescând complexitatea. Toate acestea au un efect negativ asupra libertății noastre de decizie și depind, de asemenea, de puteri, sinusuri și cosinusuri. Să ia timp pentru a găsi răspunsul corect, dar să ducă la un răspuns corect, mai degrabă decât la unul confuz.

În al doilea rând, tot restul, adică partea pe care intenționăm să o diferențiem și să o notăm cu F, ar trebui să iasă în evidență în mod vizibil după transformare. După o procedură simplă, observăm că noua integrală este mai simplificată decât predecesoarea sa.

Astfel, atunci când combinăm cele două reguli și le folosim în rezolvare, putem folosi diferențierea și integrarea unei funcții de putere, ceea ce are sens să luăm în considerare fragmentar.

Există, de asemenea, o modalitate de eliminare a lui x, care ne permite să folosim eficient transformările în diverse situații. De exemplu, putem integra cu ușurință prin înmulțirea unei funcții cu un polinom pe care îl reducem prin diferențiere.

∫ x2 sin(3x) dx

∫ x7 cos(x) dx

∫x4 e4x dx

Luăm ca f gradul lui x (în cazul mai general un polinom) și folosim și g`. Evident, fiecare diferențiere reduce gradul numărului cu unu, așa că, dacă acesta este suficient de mare în exemplu, aplicați integrarea redusă de mai multe ori. Acest lucru va contribui la scurtarea timpului.

Complexitatea unor ecuații

În acest caz este vorba despre diferențierea și integrarea unei serii de puteri. Funcția poate fi privită ca și cum x ar fi aria intervalului de convergență a punctului. Dar metoda nu este potrivită pentru toată lumea. Ideea este că orice funcție poate fi exprimată sub forma unei serii de puteri, transformându-se într-o structură liniară și viceversa.

De exemplu, ne este dat e_x. O putem exprima sub forma unei ecuații, care este de fapt doar un polinom infinit. O serie de puteri este ușor de văzut prin calcul, dar nu este întotdeauna eficientă.

O integrală definită ca limită a sumei

Priviți următorul grafic de integrare și diferențiere.

Pentru a înțelege o funcție complexă, este suficient să o înțelegem în profunzime. Să evaluăm regiunea PRSQP cuprinsă între curba y = f (x), axa x și coordonatele "x = a" și "x = b". Acum împărțiți intervalul [a, b] în "n" subintervale egale, notate după cum urmează: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]... [xn - 1 , xn ].

Unde x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, x3 = a + 3h.. .. xr = a + rh și xn = b = a + nh sau n = (b - a) / h. (1). Rețineți că dacă n → ∞ h → 0.

Spațiul PRSQP în cauză este suma tuturor celor "n" subdomenii, unde fiecare este definit pe o anumită mediană [x_r-1 , х_r ], r = 1, 2, 3... n. Cu o abordare corectă, aceste funcții pot fi diferențiate și integrate pentru a rezolva rapid probleme.

Priviți acum ABDM-ul din figură. Este rezonabil să se facă următoarea observație cu privire la aceste zone: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

De asemenea, rețineți că dacă h → 0 sau x_r - х_r-1 → 0 toate cele trei zone devin aproape egale între ele. Prin urmare, avem:

sn = h [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ... f(xn - 1)] = h r=0∑n-1 f(xr) (2)

sau Sn = h [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ... f(xn)] = h r=1∑n f(xr) (3)

În acest caz, s_n și S_n reprezintă suma suprafețelor tuturor dreptunghiurilor inferioare și superioare ridicate deasupra intervalelor [x_r-1, х_r] pentru r = 1, 2, 3,..., n respectiv. Pentru a pune acest lucru în perspectivă, ecuația (1) poate fi rescrisă sub forma

sn< zonă (PRSQP) < Sn ... (4)

În plus, se presupune că limitele (2) și (3) sunt aceleași în ambele cazuri și că numai aria de sub curbă. Ca urmare, avem:

limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = PRSQP = ∫ab f(x) dx ... (5)

Aria este, de asemenea, limita spațiului care se află între dreptunghiurile de sub curbă și de deasupra curbei. Din motive de comoditate, urmează următoarele ia aminte la înălțimea figurii, egală cu curba de la marginea stângă a fiecărui subinterval. Prin urmare, ecuația se rescrie într-o formă finită:

∫ab f(x) dx = limn → ∞ h [f(a) + f(a + h) + ... + f(a + {n - 1}h)]

sau ∫ab f(x) dx = (b - a) limn → ∞ (1/n) [f(a) + f(a + h) + ... + f(a + {n - 1}h)]

Concluzie

Diferențierea și integrarea se deosebesc printr-o serie de proprietăți, formule și schimbări opuse. una nu poate fi transformată în cealaltă fără. Dacă diferențierea ajută la găsirea derivatei, integrarea realizează o acțiune complet diferită. Adaugă unele părți, poate ajuta cu gradele prin reducerea lor sau poate îmbunătăți exemplul prin simplificare.

Se aplică, de asemenea, la pentru a verifica ecuații diferențiabile. Cu alte cuvinte - acționează ca un întreg, care nu poate coexista separat, pentru că se completează reciproc. Aplicând regulile, cunoscând numeroasele tehnici, aveți acum garanția rezolvării unor probleme complexe.