Formula pentru volumul unei prisme. Volumele figurilor pătrate și hexagonale regulate

O prismă este un poliedru sau un poliedru care se studiază în cursul școlar de stereometrie. O proprietate importantă a acestui poliedru este volumul său. Vom lua în considerare în articol modul în care este posibil să calculăm această valoare și, de asemenea, vom da formule de volume de prisme - regulate quadrangulare și hexagonale.

O prismă în stereometrie

Această figură se referă la un poliedru care este format din două poligoane identice dispuse în planuri paralele și mai multe paralelograme. Pentru anumite prisme, paralelogramele pot reprezenta cvadrilaterale drepte sau pătrate. Mai jos este prezentat un exemplu de așa-numită prismă pentagonală.

Pentru a construi o figură ca în figura de mai sus, trebuie să luați un pentagon și să îl duceți paralel cu o anumită distanță în spațiu. Legând laturile a două pentagoni cu ajutorul paralelogramelor, obținem prisma pe care o căutăm.

O prismă este alcătuită din fețe, vârfuri și muchii. Vârfurile unei prisme, spre deosebire de cele ale unei piramide, sunt egale, fiecare dintre ele aparținând uneia dintre cele două baze. Există două tipuri de fețe și muchii: cele care aparțin bazelor și cele care aparțin laturilor.

Prismele sunt de mai multe feluri (regulate, înclinate, convexe, drepte, concave). Considerați mai departe în articol care este formula folosită pentru a calcula volumul unei prisme, dat fiind tipul acesteia.

Formula generală pentru determinarea volumului unei prisme

Nu contează ce fel de obiect este, dacă este drept sau înclinat, laturile unui obiect rectiliniu sau neregulat, există o expresie universală pentru determinarea volumului unei prisme. Volumul unei figuri spațiale este suprafața de spațiu cuprinsă între fețele sale. Formula generală pentru volumul unei prisme este următoarea:

V = S_o × h.

Aici S_o este suprafața bazei. Nu uitați că este vorba despre o bază, nu de două. h este înălțimea. Înălțimea obiectului studiat este distanța dintre bazele sale egale. Dacă distanța este egală cu lungimea marginilor laterale, atunci se numește prismă. Toate laturile unui dreptunghi sunt dreptunghiuri.

Astfel, dacă prisma este înclinată și are la bază un poligon neregulat, calculul volumului său este mai complicat. Dacă este dreaptă, calculul volumului se limitează doar la aria bazei S_o.

Definiția volumului unui dreptunghi regulat

O prismă regulată este orice prismă care este dreaptă și are o bază poligonală cu laturile și unghiurile egale. De exemplu, astfel de poligoane drepte sunt un pătrat și un triunghi echilateral. În același timp, rombul nu este o figură corectă, deoarece nu toate colțurile sale sunt egale între ele.

Formula pentru volumul unei prisme regulate rezultă în mod univoc din expresia generală pentru V, care a fost scrisă la punctul anterior. Înainte de a începe să scriem formula, trebuie să determinăm aria unghiului drept. Fără a intra în detalii matematice, iată formula de determinare a suprafeței. Este universal pentru orice n-gon regulat și are următoarea formă:

S_n = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

După cum se poate observa din expresie, suprafața S_n - este o funcție de doi parametri. Numărul întreg n poate lua valori de la 3 la infinit. Valoarea a este lungimea laturii lui n-gon.

Pentru a calcula volumul figurii, trebuie doar să înmulțim aria S_n cu înălțimea h sau cu lungimea marginii laterale b (h=b). Ca rezultat, avem următoarea formulă de lucru:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × a² × h.

Să observăm că pentru definirea volumului prismei de orice fel este necesar să cunoaștem anumite valori (lungimile laturilor laterale ale bazei, înălțimea, unghiurile diedre ale unei astfel de figuri), pentru calculul V al prismei regulate trebuie să cunoaștem doar doi parametri liniari, de exemplu, a și h.

Volumul unei prisme regulate cvadrilaterale

O prismă cvadrilaterală se numește paralelipiped. Dacă toate laturile sunt pătrate, numim un cub. Orice școlar știe că volumul unui paralelipiped dreptunghiular sau al unui cub se determină prin înmulțirea celor trei laturi diferite (lungime, înălțime și lățime). Acest fapt rezultă din expresia scrisă a volumului general pentru o figură regulată:

V = n/4 × ctg (pi / n) × a² × h = 4/4 × ctg ( pi / 4) × a² × h = a² × h.

Aici, cotangenta lui 45° este 1. Observați că egalitatea înălțimii h și a lungimii laturii bazei a conduce automat la formula pentru volumul unui cub.

Volumul unei prisme hexagonale regulate

Să aplicăm acum teoria de mai sus pentru a determina volumul unui bloc cu baza hexagonală. Tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți valoarea n=6 în formulă:

V = 6/4 × ctg (pi / 6) × a² × h = 3 × √3/2 × a² × h.

Expresia scrisă se poate obține fără a folosi formula universală pentru S_n. Pentru a face acest lucru, împărțiți un hexagon regulat în șase triunghiuri echilaterale. Latura fiecăruia va fi egală cu a. Aria unui triunghi corespunde la:

S₃ = √3/4 × a².

Înmulțind această valoare cu numărul de triunghiuri (6) și cu înălțimea, obținem formula pentru volumul scris mai sus.