Ce este o prismă dreaptă? Formule pentru lungimile diagonalelor, suprafața și volumul unei figuri

Un curs de geometrie de liceu este împărțit în două mari secțiuni: planimetrie și stereometrie. Stereometria studiază formele spațiale și caracteristicile lor. În acest articol vom analiza ce este o prismă dreaptă și vom oferi formule care descriu proprietățile sale, cum ar fi lungimile diagonalelor, volumul și suprafața.

Ce este o prismă?

Atunci când li se cere elevilor să dea o definiție a prismei, ei răspund că această figură este formată din două poligoane paralele identice ale căror laturi sunt legate între ele prin paralelograme. Această definiție este cât se poate de generală, deoarece nu impune condiții privind forma poligoanelor, dispunerea lor reciprocă în planuri paralele. Presupune, de asemenea, conectarea paralelogramelor, o clasă care include și pătratul, rombul și dreptunghiul. Mai jos puteți vedea ce este o prismă cvadrilaterală.

Vedem că o prismă este un poliedru format din n + 2 laturi, 2 × n vârfuri și 3 × n muchii, unde n este numărul de laturi (vârfuri) ale unuia dintre poligoane.

Ambele poligoane se numesc picioare, iar celelalte laturi se numesc laturi ale prismei.

Conceptul de prismă dreaptă

Există diferite tipuri de prisme. De exemplu, vorbim de figuri regulate și neregulate, triunghiulare, pentagonale și alte prisme; figuri convexe și concave; și, în cele din urmă, acestea pot fi oblice și drepte. Vom vorbi mai în detaliu despre ultimele părți.

O prismă dreaptă este o astfel de figură din clasa studiată a poliedrelor, ale cărei pătrate laterale au toate unghiurile drepte. Există doar două tipuri de cvadrilatere, dreptunghiul și pătratul.

Acest tip de figură are o proprietate importantă: înălțimea unei prisme este egală cu lungimea marginilor sale laterale. Observați că toate laturile sunt egale. În ceea ce privește laturile laterale, în cazul general acestea nu sunt egale între ele. Ele sunt egale dacă, pe lângă faptul că este dreaptă, prisma este și ea dreaptă.

Figura de mai jos arată o figură dreaptă cu baza pentagonală. Se poate observa că toate laturile sale sunt dreptunghiuri.

Diagonalele prismei și parametrii liniari ai acesteia

Caracteristicile liniare de bază ale oricărei prisme sunt înălțimea sa h și lungimile laturilor bazei sale a_i, unde i = 1, ..., n. Dacă baza este un poligon regulat, atunci pentru a-i descrie proprietățile este suficient să se cunoască lungimea a o parte. Cunoașterea parametrilor liniari marcați face posibilă determinarea fără echivoc a unor proprietăți ale figurii, cum ar fi volumul sau suprafața acesteia.

Diagonalele unei prisme drepte sunt segmentele care unesc două vârfuri oarecare necontingente. Aceste diagonale pot fi de trei tipuri:

• situată în planurile bazei;
• în planurile dreptunghiurilor laterale;
• aparținând volumului figurii.

Lungimile diagonalelor care aparțin bazei trebuie determinate în funcție de tipul de n-gon.

Diagonalele dreptunghiurilor laterale se calculează cu ajutorul următoarei formule:

d_1i = √(a_i² + h²).

Pentru a determina diagonalele volumetrice este necesar să se cunoască lungimea diagonalei de bază corespunzătoare și înălțimea. Dacă o anumită diagonală a fundației este notată cu d_0i, atunci diagonala volumului d_2i se calculează după cum urmează:

d_2i = √(d_0i² + h²).

De exemplu, în cazul a unui cvadrilateral regulat a unei prisme, lungimea diagonalei volumului va fi

d₂ = √(2 × a² + h²).

Rețineți că este o prismă triunghiulară dreaptă are doar unul dintre cele trei tipuri de diagonale menționate: diagonala laturii.

Suprafața clasei de figuri în studiu

Suprafața este suprafața totală a tuturor fețelor din. Pentru a vizualiza toate laturile, este necesar să se facă o derulare a prismei. Ca exemplu, pentru o figură pentagonală, se arată următoarele.

Vedem că numărul de figuri plane este n + 2, unde n sunt dreptunghiuri. Pentru a calcula suprafața întregii mături, se adună suprafețele celor două baze identice și suprafețele tuturor dreptunghiurilor. Atunci formula corespunzătoare este următoarea:

S = 2 × S_o + h × ∑_i=1ⁿ (a_i).

Din această ecuație reiese că aria laterală a prismei în cauză este egală cu produsul înălțimii figurii cu perimetrul bazei sale.

Suprafața piciorului S_o poate fi calculat prin aplicarea următoarei formule geometrice. De exemplu, dacă baza unei prisme drepte - triunghi dreptunghic, atunci obținem

S_o = a₁ × a₂ / 2.

În cazul în care un₁ și un₂ - cateterele triunghiului.

Dacă baza este un n-gon cu unghiuri și laturi egale, atunci este valabilă următoarea formulă

S_o = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Formula de volum

Determinarea volumului unei prisme de orice fel nu este o sarcină dificilă dacă se cunosc valorile ariei bazei sale S_o și înălțimea h. Înmulțind aceste valori între ele, obținem volumul V al figurii, adică:

V = S_o × h.

Deoarece în cazul prismei drepte parametrul h este egal cu lungimea muchiei laterale, întreaga problemă a calculului volumului se reduce la calculul ariei S_o. Mai sus am spus deja câteva cuvinte și am dat câteva formule care ajută la determinarea lui S_o. Rețineți aici că, în cazul unei baze de formă arbitrară, trebuie să o împărțim în segmente simple (triunghiuri, dreptunghiuri), să calculăm aria fiecăruia și apoi să adunăm toate ariile pentru a obține S_o.