Forma geometrică a unei prisme. Proprietăți, tipuri, formule de volum și arie. Prisma triunghiulară dreaptă

Figurile geometrice în spațiu sunt obiectul de studiu al stereometriei, al cărui curs este urmat de elevii din liceu. Acest articol se referă la un poliedru perfect, prisma. Să aruncăm o privire mai atentă la proprietățile unei prisme și să dăm formule pentru descrierea lor cantitativă.

Ce este o prismă??

Toată lumea știe cum arată un paralelipiped sau un cub. Ambele figuri sunt prisme. Cu toate acestea, clasa de prisme este mult mai variată. În geometrie această figură este definită astfel: O prismă este orice poliedru în spațiu, care este format din două laturi poligonale paralele și identice și mai multe paralelograme. Laturile paralele identice ale unei figuri se numesc baze (superioară și inferioară) ale acesteia. Paralelogramele, pe de altă parte, sunt laturile figurii care leagă între ele laturile bazei.

Dacă baza este reprezentată de un n-gon, unde n este un număr întreg, atunci figura va avea 2+n fețe, 2*n vârfuri și 3*n muchii. fețele și marginile aparțin unuia dintre cele două tipuri: sunt fie laturi, fie baze. În ceea ce privește vârfurile, acestea sunt toate egale și aparțin bazelor prismei.

Tipuri de clase de figuri studiate

În timp ce studiem proprietățile unei prisme, ar trebui să enumerăm tipurile posibile ale acestei figuri:

• Convexă și concavă. Diferența dintre cele două este forma bazei poligonale. Dacă este concavă, va fi și o figură tridimensională și invers.
• Drept și înclinat. O prismă dreaptă are laturile alcătuite fie din dreptunghiuri, fie din pătrate. Într-o formă înclinată, laturile sunt fie un tip general de paralelogram, fie un romb.
• Iregular și regulat. Pentru ca figura studiată să fie regulată, ea trebuie să fie dreaptă și să aibă o bază regulată. Exemple de acestea din urmă sunt figurile plane, cum ar fi un triunghi echilateral sau un pătrat.

Prisma este numită după clasificările de mai sus. De exemplu, paralelipipedul cu unghiuri drepte menționat mai sus sau un cub, se numesc un cvadrilateral regulat prismă. Prismele drepte, datorită simetriei lor înalte, sunt convenabile pentru a studia. Proprietățile lor pot fi exprimate cu ajutorul unor formule matematice specifice.

Aria unei prisme

Atunci când se ia în considerare aria unei prisme, se are în vedere aria totală a tuturor fațetelor sale. Cel mai simplu mod de a reprezenta această mărime este de a face o derulare a formei, adică de a descompune toate fețele într-un singur plan. Două prisme sunt prezentate în imaginea de mai jos ca exemplu.

Pentru o prismă arbitrară, formula pentru aria suprafeței de baleiaj poate fi scrisă în formă generală după cum urmează:

S = 2*S_o + b*P_sr.

Să explicăm denumirile. Magnitudine S_o - este suprafața unui picior, b este lungimea marginii laterale, P_sr - Perimetrul unei felii care este perpendiculară pe paralelogramele laterale ale figurii.

Formula înscrisă este adesea folosită pentru a determina aria prismelor înclinate. În cazul unei prisme regulate, expresia pentru S capătă o formă concretă:

S = n/2*a²*ctg(pi/n) + n*b*a .

Primul termen din expresie reprezintă aria celor două baze ale unei prisme regulate, al doilea termen este aria dreptunghiurilor laterale. Aici a este lungimea laturii unui n-gon regulat. Rețineți că lungimea laturii b a unei prisme regulate este și înălțimea h a acesteia, astfel încât putem înlocui b cu h.

Cum se calculează volumul?

Prisma este un poliedru relativ simplu, cu o simetrie ridicată. De aceea, există o formulă foarte simplă pentru determinarea volumului. Acesta are următoarea formă:

V = S_o*h.

Calcularea ariei bazei și a înălțimii poate fi dificilă dacă se consideră o figură neregulată înclinată. Această problemă se rezolvă printr-o analiză geometrică secvențială folosind informații despre unghiurile diedru dintre paralelogramele laterale și baza.

Dacă prisma este regulată, atunci formula pentru V ia o formă foarte concretă:

V = n/4*a²*ctg(pi/n)*h.

După cum se poate observa, aria S și volumul V pentru o prismă regulată sunt determinate în mod unic dacă se cunosc cei doi parametri liniari ai acesteia.

Prisma triunghiulară dreaptă

Să încheiem acest articol prin examinarea proprietăților unei prisme triunghiulare drepte. Are cinci laturi, dintre care trei sunt dreptunghiuri (pătrate) și două sunt triunghiuri echilaterale. O prismă are șase vârfuri și nouă muchii. Pentru această prismă, formulele pentru volum și suprafață sunt scrise mai jos:

S₃ = √3/2*a² + 3*h*a

V₃ = √3/4*a²*h.

În plus față de aceste proprietăți, este de asemenea util să se dea formula pentru apotema bazei figurii, care este înălțimea h_a a unui triunghi echilateral:

h_a = √3/2*a.

Laturile prismei sunt dreptunghiuri identice. Lungimile diagonalelor lor d sunt egale:

d = √(a² + h²).

Cunoașterea proprietăților geometrice ale prismei triunghiulare nu este doar de interes teoretic, ci și practic. Ideea este că această figură, realizată din sticlă optică, este folosită pentru a studia spectrul de radiații al corpurilor.

Trecând printr-o prismă de sticlă, lumina se descompune în mai multe culori constitutive, ca urmare a fenomenului de dispersie, ceea ce face posibilă studierea compoziției spectrale a fluxului electromagnetic.