Ecuația de stare pentru un gaz ideal (ecuația mendeleev-clapeyron). Derivarea ecuației gazului ideal

Gazul este una dintre cele patru stări de agregare a materiei care ne înconjoară. Această stare a materiei a început să fie studiată din punct de vedere științific încă din secolul al XVII-lea. În articolul de mai jos vom studia ce este un gaz ideal și ce ecuație îl descrie comportamentul său în condiții externe diferite.

Conceptul de gaz ideal

Toată lumea știe că aerul pe care îl respirăm sau metanul natural pe care îl folosim pentru a ne încălzi casele și a găti alimente sunt reprezentanți remarcabili ai stării gazoase a materiei. În fizică, termenul de gaz ideal a fost introdus pentru a studia proprietățile acestei stări. Este un concept implică utilizarea unei serii de ipoteze și simplificări care nu sunt esențiale în descrierea caracteristicilor fizice de bază ale materiei: temperatura, volumul și presiunea.

Așadar, un gaz ideal este o substanță fluidă, care îndeplinește următoarele condiții

1. Particulele (molecule și atomi) se mișcă haotic în direcții diferite. Datorită acestei proprietăți, în 1648 Jan Baptista van Helmont a introdus conceptul de "gaz" ("haos" din greaca veche).
2. Particulele nu interacționează, adică interacțiunile intermoleculare și interatomice pot fi neglijate.
3. Coliziunile dintre particule și pereții vasului sunt perfect elastice. Ca urmare a unor astfel de coliziuni, energia cinetică și impulsul se conservă.
4. Fiecare particulă este un punct material, adică are o anumită masă finită, dar volumul său este zero.

O combinație a acestor condiții corespunde noțiunii de gaz ideal. Toate substanțele reale cunoscute corespund cu mare precizie conceptului introdus la temperaturi ridicate (temperatura camerei și mai sus) și presiuni scăzute (presiune atmosferică și mai jos).

Legea lui Boyle-Mariotte

Înainte de a scrie ecuația de stare a unui gaz ideal În continuare sunt prezentate câteva legi și principii particulare, a căror descoperire experimentală a condus la derivarea acestei ecuații.

Să începem cu legea lui Boyle-Mariotte. În 1662, fizicianul britanic Robert Boyle și în 1676 fizicianul și botanistul francez Edmund Marriott au afirmat independent următoarea lege: dacă temperatura într-un sistem gazos rămâne constantă, presiunea creată de gaz în timpul oricărui proces termodinamic este invers proporțională cu volumul său. Din punct de vedere matematic, această formulare poate fi scrisă după cum urmează

P * V = k₁ la T = const, unde

• P, V sunt presiunea și este volumul unui gaz ideal;
• k₁ - o anumită constantă.

Efectuând experimente cu gaze diferite din punct de vedere chimic, oamenii de știință au descoperit că valoarea lui k₁ este independent de natura chimică, dar depinde de masa gazului.

o tranziție între stări cu o schimbare de presiune și de volum, menținând constantă temperatura sistemului, se numește proces izotermic. Astfel, izotermele unui gaz ideal de pe grafic sunt hiperbole ale relației presiune-volum.

Charles și legea lui Gay-Lussac

În 1787, savantul francez Charles și în 1803 un alt francez, Gay-Lussac, au stabilit empiric o altă lege, care descria comportamentul unui gaz ideal. într-un sistem închis, la presiune constantă a gazului, o creștere a temperaturii duce la o creștere proporțională a volumului și invers o scădere a temperaturii duce la o contracție proporțională a gazului. Formularea matematică a legii lui Charles și Gay-Lussac se scrie după cum urmează:

V / T = k₂ la P = const.

Tranziția între stările unui gaz în timp ce se schimbă temperatura și volumul și se menține presiunea în sistem se numește proces izobară. constantă k₂ este determinată de presiunea din sistem și de masa gazului, dar nu de natura sa chimică.

Funcția V (T) de pe grafic este o dreaptă cu panta tangentă k₂.

Se poate înțelege această lege, dacă implicăm teoria cinetică moleculară (MKS). Astfel, o creștere a temperaturii conduce la o creștere a energiei cinetice a particulelor de gaz. Aceasta din urmă determină o creștere a intensității ciocnirilor lor cu pereții vasului, ceea ce crește presiunea din sistem. Pentru a menține constantă această presiune, este necesară o expansiune volumetrică a sistemului.

Legea lui Hay-Lussac

Savantul francez menționat deja la începutul secolului al XIX-lea a mai stabilit o lege legată de procesele termodinamice ale gazului ideal. Această lege afirmă că, dacă volumul unui sistem de gaze este menținut constant, o creștere a temperaturii duce la o creștere proporțională a presiunii și viceversa. Formula pentru legea lui Gay-Lussac arată în felul următor

P / T = k₃ la V = const.

Din nou avem constanta k₃, în funcție de masa gazului și de volumul acestuia. un proces termodinamic la volum constant se numește izocoric. Izocorele de pe graficul P (T) apar ca izobare, adică sunt linii drepte.

Principiul Avogadro

Având în vedere ecuația stările unui gaz ideal caracterizează adesea doar cele trei legi prezentate mai sus, care sunt cazuri speciale ale acestei ecuații. Cu toate acestea, există o altă lege, care se numește principiul Avogadro. Este, de asemenea, un caz special al ecuației gazului ideal.

În 1811, italianul Amedeo Avogadro, după numeroase experimente cu diferite gaze, a ajuns la următoarea concluzie: dacă presiunea și temperatura într-un sistem gazos se conservă, volumul V al acestuia este în relație directă cu cantitatea de materie n. Nu contează de ce natură chimică este substanța. Avogadro a stabilit următoarea relație:

n / V = k_4,

unde constanta k₄ este determinată de presiunea și temperatura din sistem.

Principiul Avogadro este uneori formulat astfel: volumul pe care îl ocupă 1 mol dintr-un gaz ideal la o temperatură și o presiune date este întotdeauna același, indiferent de natura sa. Reamintim că 1 mol dintr-o substanță este numărul N_A, reflectând numărul de unități elementare (atomi, molecule) care alcătuiesc substanța (N_A = 6,02 * 10²³).

Legea Mendeleev-Clapeyron

Acum este momentul să ne întoarcem la subiectul principal al articolului. Orice gaz ideal aflat în stare de echilibru poate fi descris prin următoarea egalitate

P * V = n * R * T.

Această expresie se numește legea Mendeleev-Clapeyron, după numele oamenilor de știință care au contribuit atât de mult la formularea ei. Legea spune că produsul dintre presiunea și volumul unui gaz este direct proporțional cu produsul dintre cantitatea de materie a gazului respectiv și temperatura sa.

Clapeyron a derivat pentru prima dată această lege rezumând rezultatele studiilor efectuate de Boyle-Mariotte, Charles, Gay-Lussac și Avogadro. Mendeleev este creditat pentru că a dat ecuației de bază a gazului ideal o formă modernă prin introducerea constantei R. În formularea sa matematică, Clapeyron a folosit un set de constante, ceea ce a făcut dificilă utilizarea acestei legi în scopuri practice.

Cantitatea R introdusă de Mendeleev se numește constanta universală a gazelor. Arată cât de mult lucru efectuează 1 mol dintr-un gaz de orice natură chimică ca urmare a expansiunii izobare atunci când temperatura crește cu 1 Kelvin. Prin constanta Avogadro N_A și constanta Boltzmann k_B această valoare se calculează după cum urmează:

R = N_A * k_B = 8,314 J/(mol*K).

derivarea ecuației

Starea modernă a termodinamicii și fizicii statistice permite obținerea mai multor în moduri diferite Ecuația gazului ideal scrisă la punctul anterior.

Prima metodă este de a generaliza pornind de la doar două legi empirice: Boyle-Mariotte și Charles. Din această generalizare rezultă forma:

P * V / T = const.

Este exact ceea ce a făcut Clapeyron în anii 1930.

A doua cale este de a invoca prevederile CDI. Dacă se ia în considerare impulsul pe care fiecare particulă îl transferă la ciocnirea cu peretele unui vas, se ia în considerare relația dintre acest impuls și temperatură și se ia în considerare și numărul N de particule din sistem, se poate scrie ecuația gazului ideal din teoria cinetică sub următoarea formă

P * V = N * k_B * T.

Înmulțind și împărțind partea dreaptă a ecuației cu numărul N_A, obținem ecuația așa cum este scrisă în paragraful de mai sus.

Există un al treilea mod mai complicat de a obține ecuația de stare pentru un gaz ideal - din mecanica statistică, folosind conceptul de Helmholtz de energie liberă.

Scrierea ecuației în termeni de masă și densitate a gazului

În figura de mai sus, ecuația gazului ideal este scrisă astfel. Se referă la cantitatea de substanță n. În practică, însă, masa variabilă sau constantă a unui gaz ideal m. În acest caz, ecuația se va scrie sub această formă:

P * V = m / M * R * T.

M este masa molară pentru un anumit gaz. De exemplu, pentru oxigenul O₂ este egal cu 32 g/mol.

În cele din urmă, transformând ultima expresie, o putem rescrie sub forma

P = ρ / M * R * T

unde ρ este densitatea substanței.

Amestec de gaze

Un amestec de gaze ideale este descris de așa-numita lege a lui Dalton. Această lege rezultă din ecuația gazului ideal, care se aplică fiecărui component al amestecului. Într-adevăr, fiecare component ocupă întregul volum și are aceeași temperatură ca și ceilalți componenți ai amestecului, ceea ce ne permite să scriem

P = ∑_iP_i = R * T / V * ∑_in_i.

Altfel spus, presiunea totală în amestec P este egală cu suma presiunilor parțiale P_i a tuturor componentelor.