Ecuația generală a unei drepte în plan, în spațiu

După un punct, o linie dreaptă este probabil cel mai simplu element de geometrie. Se utilizează la construcția oricăror forme complexe în plan și în spațiul tridimensional. În acest articol vom analiza ecuația generală a unei linii drepte și vom rezolva câteva probleme folosind-o. Să mergem la !

Linia dreaptă în geometrie

Toată lumea știe că figuri precum dreptunghiul, triunghiul, prisma, cubul și așa mai departe sunt formate din linii drepte care se intersectează. În geometrie, o linie dreaptă este un obiect unidimensional care poate fi obținut prin transferarea unui punct dat la un vector având aceeași direcție sau direcție opusă. Pentru a înțelege mai bine această definiție, să ne imaginăm că există un punct P în spațiu. Să luăm un vector arbitrar u¯ în acest spațiu. Atunci orice punct Q al dreptei poate fi obținut prin următoarele operații matematice:

Q = P + λ∗u¯.

Aici λ este un număr arbitrar care poate fi pozitive și negative. Dacă scriem egalitatea de mai sus prin coordonate, obținem următoarea ecuație a unei drepte:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Această ecuație se numește ecuația liniei drepte în formă vectorială. Iar vectorul u¯ se numește vector de ghidare.

Ecuația generală a unei drepte în plan

Orice școlar va putea să o scrie fără nicio dificultate. Dar cel mai adesea ecuația este scrisă sub forma

y = k*x + b.

Unde k și b sunt numere arbitrare. Numărul b se numește termen liber. Parametrul k este egal cu tangenta unghiului format de intersecția dreptei cu axa absciselor.

Ecuația de mai sus este exprimată în termenii variabilei y. Dacă o reprezentăm într-o formă mai generală, obținem următoarea formă de notație:

A*x + B*y + C = 0.

Este ușor de arătat că această formă a ecuației generale a dreptei în plan poate fi ușor transformată în forma anterioară. Pentru a face acest lucru, împărțiți stânga și dreapta cu factorul B și exprimați y.

Figura de mai sus reprezintă o dreaptă care trece prin două puncte.

Linie dreaptă în spațiul tridimensional

Să continuăm studiul nostru. Am considerat cum se dă o ecuație a unei drepte în plan sub forma generală. Dacă aplicăm notația dată în punctul anterior la cazul spațial, ce obținem?? Este simplu - nu mai este o linie dreaptă, ci un plan. Într-adevăr, următoarea expresie descrie un plan care este paralel cu axa z:

A*x + B*y + C = 0.

Dacă C=0, atunci un astfel de plan trece prin axa z. Acesta este un element important caracteristică.

Cum rămâne atunci cu ecuația generală a unei drepte în spațiu? Pentru a înțelege cum să o setăm, trebuie să ne amintim ceva. Două plane se intersectează pe o dreaptă dată. Ce înseamnă acest lucru?? Numai că, care este comună ecuația este rezultatul rezolvării unui sistem de două ecuații pentru planuri. Să scriem acest sistem:

• A₁*x + B₁*y + C₁*z + D₁= 0;
• A₂*x + B₂*y + C₂*z + D₂= 0.

Acest sistem este ecuația generală a unei drepte în spațiu. Rețineți că planele nu trebuie să fie paralele între ele, adică vectorii lor normali trebuie să fie înclinați la un anumit unghi unul față de celălalt. În caz contrar, sistemul nu va avea soluții.

Mai sus am dat forma vectorială a ecuației pentru linia dreaptă. Este convenabil de utilizat în rezolvarea acestui sistem. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să găsim produsul vectorial al normalelor planurilor date. Rezultatul acestei operații este vectorul direcțional al dreptei. Apoi, orice punct care aparține liniei trebuie calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să punem oricare dintre variabile egale cu o anumită valoare, cele două variabile rămase vor fi găsite prin rezolvarea sistemului de mai sus.

Cum se convertește o ecuație vectorială într-o ecuație generală? Nuanțe

Aceasta este o problemă reală care poate apărea în cazul în care ar trebui să se scrie ecuația generală a unei drepte folosind coordonatele cunoscute a două puncte. Să arătăm cum se rezolvă această problemă cu ajutorul exemplului. Să se cunoască coordonatele a două puncte:

• P = (x₁, y₁);
• Q = (x₂, y₂).

Ecuația în formă vectorială poate fi construită cu ușurință. Coordonatele vectorului de ghidare sunt egale:

PQ = (x₂-x₁, y₂-y₁).

Observați că nu are nici o importanță dacă scădem coordonatele lui Q din coordonatele punctului P, vectorul își va schimba direcția doar în direcția opusă. Acum, luați un punct oarecare și scrieți ecuația vectorului:

(x, y ) = (x₁, y₁) + λ*(x₂-x₁, y₂-y₁).

Pentru a scrie ecuația generală a liniei, este necesar să se exprime în ambele cazuri parametrul λ. Și apoi echivalează rezultatele cu. Acum avem:

x = x₁+ λ∗(x₂-x₁) => λ = (x-x₁)/(x₂-x₁);

y = y₁+ λ*(y₂-y₁) => λ = (y-y₁)/(y₂-y₁) =>

(x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁).

Tot ce rămâne de făcut este să deschidem parantezele și să întoarcem toți termenii ecuației la o parte a egalității, pentru a obține o expresie generală pentru o dreaptă care trece prin două puncte cunoscute.

În cazul problemei tridimensionale, algoritmul de rezolvare rămâne același, numai că rezultatul este un sistem de două ecuații pentru planele.

Problema

Trebuie să dăm ecuația generală a dreptei care intersectează axa x în (-3, 0) și care este paralelă cu axa y.

Să începem să rezolvăm problema scriind ecuația în formă vectorială. Deoarece linia este paralelă cu axa ordonatei, vectorul direcțional pentru aceasta este

u¯ = (0, 1).

Apoi, linia dorită se va scrie cu următoarea ecuație:

(x, y) = (-3, 0) + λ∗(0, 1).

Să traducem acum această expresie într-o formă generală prin exprimarea parametrului λ:

• x = -3;
• y = λ.

Astfel, orice valoare a lui y aparține liniei drepte, dar numai o singură valoare a lui x îi corespunde. Prin urmare, ecuația generală va lua forma:

x + 3 = 0.

Problema cu o linie în spațiu

Știm că două plane care se intersectează sunt date de următoarele ecuații:

• 2*x + y - z = 0;
• x - 2*y + 3 = 0.

Găsiți ecuația vectorului ecuația dreptei de-a lungul căreia se intersectează aceste plane. Să trecem la.

După cum s-a spus deja, ecuația generală a dreptei în trei dimensiuni a fost deja dată sub forma unui sistem de două cu trei necunoscute. Mai întâi de toate, să definim vectorul direcțional de-a lungul căruia se intersectează planurile. Înmulțind vectorial coordonatele normalelor la plane, obținem:

u¯ = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).

Deoarece înmulțirea unui vector cu un număr negativ îi schimbă direcția în sens opus, putem scrie:

u¯ = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).

Pentru a găsi o expresie vectorială pentru dreaptă, pe lângă vectorul de ghidare trebuie să cunoaștem un punct al acestei drepte. Deoarece coordonatele sale trebuie să satisfacă sistemul de ecuații din enunțul problemei, le găsim. Fie x = 0 pentru exemplu, obținem:

y = z;

y = 3/2 = 1,5.

Astfel, punctul care aparține liniei pe care o căutăm are coordonate:

P = (0, 1,5, 1,5).

Apoi obținem răspunsul la problemă, ecuația vectorială a dreptei pe care o căutăm va avea forma:

(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + λ*(2, 1, 5).

Corectitudinea soluției poate fi verificată cu ușurință. Alegând o valoare arbitrară a lui λ și înlocuind coordonatele punctului de dreaptă obținut în ambele ecuații pentru plane, se obține o identitate în ambele cazuri.