Distanța dintre liniile drepte paralele. Distanța dintre planurile paralele

O linie dreaptă și un plan sunt cele mai importante două elemente geometrice care pot fi folosite pentru a construi diferite forme în spațiul bidimensional și tridimensional. Luați în considerare modul în care se găsește distanța dintre liniile paralele și planele paralele.

Reprezentarea matematică a unei linii drepte

Se știe de la cursul de geometrie școlară că într-un sistem de coordonate rectangulare bidimensional o dreaptă poate fi dată sub forma următoare:

y = k*x + b.

Unde k și b sunt numere (parametri). Forma scrisă a reprezentării unei drepte în plan este un plan paralel cu axa z în spațiul tridimensional. Având în vedere acest lucru, în această lucrare vom folosi o formă mai convenabilă și universală de definiție matematică a liniei drepte - forma vectorială.

Să presupunem că dreapta noastră este paralelă cu vectorul u¯(a, b, c) și trece prin punctul P(x_0, y₀, z₀). În formă vectorială, ecuația sa va fi reprezentată după cum urmează:

(x_, y, z) = (x_0, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Aici λ este un număr oarecare. Dacă reprezentăm explicit coordonatele prin relevarea expresiei scrise, obținem forma parametrică a dreptei.

Este convenabil să se lucreze cu ecuația vectorului atunci când se rezolvă diverse probleme în care trebuie determinată distanța dintre liniile paralele.

Linii drepte și distanța dintre ele

Are sens să vorbim de o distanță între linii numai dacă acestea sunt paralele (în cazul tridimensional, există o distanță diferită de zero între liniile care se intersectează). Dacă liniile se intersectează, atunci ele se află evident la o distanță zero una față de cealaltă.

Distanța dintre liniile paralele este lungimea perpendicularei care le unește. Pentru a determina această distanță, trebuie doar să alegem un punct arbitrar de pe una dintre linii și din acel punct să tragem o linie perpendiculară pe cealaltă linie.

Să descriem pe scurt procedura de găsire a distanței necesare. Să presupunem că, că noi cunoaștem ecuațiile vectoriale a două drepte care sunt reprezentate în următoarea formă generală:

(x_, y, z) = P + λ∗u¯;

(x_, y, z) = Q + β*v¯.

Să construim pe aceste linii un paralelogram astfel încât una dintre laturi să fie PQ și cealaltă u. Evident, înălțimea lui P este lungimea perpendicularei. Pentru a-l găsi se poate aplica următoarea formulă simplă:

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯|.

Deoarece distanța dintre drepte paralele este lungimea segmentului perpendicular dintre ele, este suficient, conform expresiei scrise, să se găsească modulul produsului vectorial PQ¯ și u¯ și să se împartă rezultatul la lungimea lui u¯.

Exemplu de problemă de determinare a distanței dintre liniile drepte

Am dat celor două linii următoarele ecuații vectoriale:

(x_, y, z) = (2, 3, -1) + λ∗(-2, 1, 3);

(x_, y, z) = (1, 1, 1) + β∗(2, -1, -3).

Din expresiile scrise, avem două linii paralele. Într-adevăr, dacă înmulțim cu -1 coordonatele vectorului direcțional al primei linii, obținem coordonatele vectorului direcțional al celei de-a doua linii, ceea ce indică faptul că acestea sunt paralele.

Să calculăm distanța dintre liniile paralele, folosind formula scrisă la punctul anterior. Acum avem:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1, 1) => PQ¯ = (-1, -2, 2);

u¯ = (-2, 1, 3).

Atunci obținem:

|u¯| = √14 cm;

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯| = √(90/14) = 2,535 cm.

Rețineți că, în locul punctelor P și Q, se pot folosi orice puncte care aparțin liniilor date pentru rezolvarea problemei. Astfel, vom obține aceeași distanță d.

Definirea unui plan în geometrie

Mai sus am analizat în detaliu chestiunea distanței dintre linii. Acum să arătăm cum se găsește distanța dintre planele paralele.

Toată lumea are o idee despre ce este un avion. Conform definiției matematice, elementul geometric de mai sus este un ansamblu de puncte. Și dacă se compun toți vectorii posibili folosind aceste puncte, toți vor fi perpendiculari pe un singur vector. Aceasta din urmă se numește normala la plan.

Pentru a da o ecuație a unui plan în spațiul tridimensional, cea mai comună formă a ecuației este. Are această formă:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

În cazul în care literele mari latine sunt niște numere. Este convenabil să folosim această formă a ecuației planului, deoarece specifică în mod explicit coordonatele vectorului normal. Acestea sunt A, B, C.

Este ușor de văzut că două plane sunt paralele numai dacă normalele lor sunt paralele.

Cum se găsește distanța dintre două planuri paralele ?

Pentru a determina această distanță, trebuie să avem o idee clară despre ce este vorba. Distanța dintre planele care sunt paralele între ele este lungimea unui segment perpendicular la acestea. Capetele acestui segment aparțin planurilor.

Algoritmul de rezolvare a unor astfel de probleme este simplu. În acest scop este necesar să se găsească coordonatele absolut oricărui punct care aparține unuia dintre cele două planuri. Apoi folosiți această formulă:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²).

Deoarece distanța este o mărime pozitivă, numărătorul are semnul modulo. Formula este universală, deoarece vă permite să calculați distanța de la plan la absolut orice element geometric. Este suficient să cunoaștem coordonatele unui punct al acestui element.

Pentru a completa informația, rețineți că, dacă normalele a două plane nu sunt paralele între ele, aceste plane se vor intersecta. Distanța dintre ele va fi atunci zero.

Sarcina de a găsi distanța dintre avioane

Se știe că două planuri sunt date de următoarele expresii:

y/5 + x/(-3) + z/1 = 1;

-x + 3/5*y + 3*z - 2 = 0.

Ar trebui să demonstrăm că planurile sunt paralele și să determinăm distanța dintre ele.

Pentru a răspunde la prima parte a problemei trebuie să reducem prima ecuație la forma generală. Rețineți că acest lucru este dat în ceea ce se numește o ecuație în segmente. Se înmulțesc părțile sale din stânga și din dreapta cu 15 și se transferă toți termenii în o parte ecuații, obținem:

-5*x + 3*y + 15*z - 15 = 0.

Să scriem coordonatele celor doi vectori normali ai planurilor:

n₁¯ = (-5, 3, 15);

n₂¯ = (-1, 3/5, 3).

Se poate observa că dacă n₂¯ se înmulțesc cu 5, atunci obținem exact coordonatele lui n₁¯. Astfel, planurile în cauză sunt paralele.

Pentru a calcula distanța dintre planele paralele, alegem un punct arbitrar al primului și folosim formula dată anterior. De exemplu, să luăm un punct (0, 0, 1) care aparține primului plan. Atunci obținem:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²) =

= 1/(√(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 cm.

Distanța necesară este de 31 mm.

Distanța dintre un plan și o dreaptă

Cunoștințele teoretice oferite fac posibilă și rezolvarea problemei distanței între o linie dreaptă și un plan. S-a menționat deja mai sus că formula, care este valabilă pentru calculele între planuri, este universală. De asemenea, poate fi folosit pentru a rezolva problema. Pentru a face acest lucru, selectați pur și simplu orice punct care aparține unei anumite linii.

Principala problemă în determinarea distanței dintre elementele geometrice considerate este dovada paralelismului lor (dacă nu sunt, atunci d=0). Paralelismul este ușor de demonstrat prin calcularea produsului scalar al normalei și al vectorului de ghidare pentru linia. Dacă elementele în cauză sunt paralele, atunci acest produs este zero.