Ecuații ale planului. Unghiul dintre cele două planuri

Planul, împreună cu punctul și dreapta, este elementul geometric de bază. Multe forme din geometria spațială sunt construite cu ajutorul acestuia. În acest articol, să aruncăm o privire mai atentă la întrebarea cum să găsim un unghi între două planuri.

Conceptul de

Înainte de în loc să spună despre unghiul dintre două plane, este necesar să știm despre ce element din geometrie este vorba. Să trecem la partea de jos a terminologiei. Planul este un set infinit de puncte în spațiu și prin conectarea lor între ele se obține vectorul. Ultima va fi perpendiculară pe un vector oarecare. Se numește normala la plan.

Figura de mai sus prezintă un plan și doi vectori normali la acesta. Vedem că ambii vectori se află pe aceeași dreaptă. Unghiul dintre ele este de 180^o.

Ecuații

Unghiul dintre două plane poate fi determinat dacă se cunoaște ecuația matematică a elementului geometric în cauză. Există mai multe tipuri de ecuații similare, ale căror denumiri sunt enumerate mai jos:

• tip general;
• este un vector;
• în segmentele.

Aceste trei tipuri sunt cele mai convenabile pentru rezolvarea diferitelor tipuri de probleme, așa că sunt cel mai des folosite.

Ecuația generală de tip este următoarea:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Aici x, y, z sunt coordonatele unor puncte arbitrare aparținând planului dat. Parametrii A, B, C și D sunt numere. Această formă de notație este convenabilă, deoarece numerele A, B, C sunt coordonatele vectorului normal la planul.

Forma vectorială a notației planului poate fi reprezentată după cum urmează:

x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + α*(a₁, b₁, c₁) + β*(a₂, b₂, c₂).

Aici (a₂, b₂, c₂) și (a₁, b₁, c₁) sunt parametrii a doi vectori de coordonate, care aparțin planului considerat. Punct (x₀, y₀, z₀) se află, de asemenea, în acest plan. Parametrii α și β pot lua valori independente unul de celălalt și arbitrare.

În cele din urmă, ecuația planului în segmente este reprezentată în următoarea formă matematică:

x/p + y/q + z/l = 1.

Aici p, q, l sunt numere concrete (inclusiv numere negative). Acest tip de ecuație este convenabil atunci când se dorește reprezentarea unui plan într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, deoarece numerele p, q, l indică punctele de intersecție cu axele x, y și z ale planului.

Observați că fiecare formă a ecuației poate fi transformată în orice altă formă cu ajutorul unor operații matematice simple.

Formula pentru unghiul dintre două planuri

Acum, pentru o rafinare suplimentară. În spațiul tridimensional, două planuri pot fi dispuse doar în două moduri. Fie se intersectează, fie sunt paralele. Între două plane, un unghi este unghiul care se află între vectorii lor prin direcția (normala). Intersecție, 2 vectori formează 2 unghiuri (acut și obtuz în cazul general). Unghiul dintre cele două planuri este considerat în general un unghi ascuțit. Luați în considerare ecuația.

Formula pentru unghiul dintre cele două planuri este

θ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|)).

Este ușor de ghicit că această expresie este o consecință directă a produsului scalar al vectorilor normali n₁¯ și n₂¯ pentru avioanele în cauză. Modulul produsului scalar de la numărător indică faptul că unghiul θ va lua numai valori cuprinse între 0^o până la 90^o. Produsul dintre modulele vectorilor normali din numitor este produsul lungimilor lor.

Rețineți că dacă (n₁¯*n₂¯) = 0, atunci planele se intersectează la unghiuri drepte.

Un exemplu de problemă

După ce înțelegem ce se numește unghiul dintre două plane, rezolvăm următoarea problemă. Ca exemplu. Deci, este necesar să se calculeze unghiul dintre aceste planuri:

2*x - 3*y + 4 = 0;

(x, y, z) = (2, 0, -1) + α*(1, 1, -1) + β*(0, 2, 3).

Pentru a rezolva problema trebuie să cunoaștem vectorii de ghidare ai planurilor. Pentru primul plan, vectorul normal este n₁¯ = (2, -3, 0). Pentru a găsi al doilea vector normal la plan, se înmulțesc vectorii după parametrii α și β. Rezultatul este un vector: n₂¯ = (5, -3, 2).

Pentru a determina unghiul θ folosim formula de la punctul anterior. Se obține:

θ = arccos (|((2, -3, 0)*(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)|*|(5, -3, 2)|)) =

= arccos (19/√(13*38)) = 0,5455 rad.

Unghiul calculat în radiani corespunde la 31,26^o. Astfel, planele din enunțul problemei au un unghi de 31,26^o.