Ce este un hiperboloid: ecuație, construcție, caracteristici generale

Pentru ca cititorul să-și imagineze mai ușor ce este un hiperboloid - un obiect tridimensional - trebuie să considerăm mai întâi o curbă hiperboloidă cu același nume, plasată în spațiul bidimensional.

Un hiperboloid are două axe: axa reală, care în această diagramă coincide cu axa absciselor, iar axa imaginară cu axa ordonatelor. Dacă începem mental să rotim ecuația unui hiperboloid în jurul axei sale imaginare, suprafața, "reperat" curbă, va constitui un hiperboloid cu o singură bandă.

Dacă rotim hiperboloidul în jurul axei sale reale în acest fel, fiecare dintre cele două "jumătăți" curba va forma suprafața sa individuală și împreună se va numi un hiperboloid bipolar.

Obținute prin rotația curbei plane corespunzătoare, ele se numesc respectiv hiperboloizi de rotație. Acestea au în toate direcțiile perpendiculare pe axa de rotație parametrii aparținând curbei rotite. În cazul general, acestea nu sunt.

Ecuația unui hiperboloid

În general, o suprafață poate fi dată de următoarele ecuații în coordonate carteziene (x,y,z):

În cazul unui hiperboloid de rotație, simetria sa în raport cu axa în jurul căreia a fost rotit se exprimă prin egalitatea coeficienților a=b.

Caracteristicile unui hiperboloid

Are un accent. Știm că curbele au focare pe un plan - în cazul unei hiperbole, de exemplu, modulul diferenței distanțelor de la un punct arbitrar, pe hiperbolă, la un focar și la al doilea este constant prin definiție, focarele proprii.

La trecerea în spațiul tridimensional definiția rămâne practic neschimbată: focarele sunt din nou două puncte, iar diferența distanțelor dintre ele și un punct arbitrar aparținând suprafeței hiperboloidului este constantă. După cum se poate observa, din modificări a apărut doar a treia coordonată a tuturor punctelor posibile, deoarece acum acestea sunt definite în spațiu. În general, definirea unui focar este echivalentă cu aflarea tipului de curbă sau de suprafață: vorbind despre cum sunt situate punctele de suprafață în raport cu focarele lor, răspundem de fapt la întrebarea ce este și cum arată un hiperboloid.

Merită să ne amintim că un hiperboloid are asimptote - linii drepte spre care ramurile sale tind spre infinit. Dacă la construirea unui hiperboloid de rotație se rotesc mental asimptotele împreună cu hiperbola, atunci pe lângă hiperboloid se obține un con numit asimptotic. Conul asimptotic este prezent atât în hiperboloizii cu o singură jumătate de foaie, cât și în cei cu două jumătăți de foaie.

O altă caracteristică importantă, disponibilă doar pentru un hiperboloid cu o singură bandă, este formantele rectilinii. După cum sugerează și numele, acestea sunt linii și se întind complet pe o anumită suprafață. Două formațiuni rectilinii trec prin fiecare punct al unui hiperboloid cu o singură cavitate. Acestea aparțin, respectiv, la două familii de linii care sunt descrise de următoarele sisteme de ecuații:

Astfel, un hiperboloid cu un singur cerc poate fi compus dintr-un număr infinit de drepte din două familii, iar fiecare linie a uneia dintre ele va intersecta toate liniile celeilalte. Suprafețele care corespund unor astfel de proprietăți se numesc suprafețe liniare; ele pot fi construite prin rotirea unei singure linii. Definiția prin dispunerea reciprocă a liniilor (formațiuni rectilinii) în spațiu poate servi, de asemenea, ca o desemnare neechivocă a ceea ce este un hiperboloid.

Proprietăți interesante ale unui hiperboloid

Curbele de ordinul al doilea și suprafețele de rotație corespunzătoare acestora au fiecare proprietăți optice interesante asociate cu focarele. În cazul hiperboloidului, acest lucru se formulează astfel: dacă o rază este lăsată să iasă dintr-un focar, ea se va reflecta de la cel mai apropiat "pereți", aceasta va lua o astfel de direcție ca și cum ar proveni de la al doilea focar.

Hiperboloizi în viață

Majoritatea cititorilor probabil că au început să cunoască geometria analitică și suprafețele de ordinul doi dintr-un roman fantastic al lui Alexey Tolstoi "hiperboloid al inginerului Garin". Cu toate acestea, autorul fie nu știa ce este un hiperboloid, fie a sacrificat precizia de dragul artei: invenția descrisă, conform caracteristicilor sale fizice, este mai degrabă un paraboloid care colectează toate razele într-un singur focar (în timp ce proprietățile optice ale unui hiperboloid sunt legate de dispersia razelor).

În arhitectură, așa-numitele structuri hiperboloidale sunt foarte populare: este vorba de structurile, care au forma unui hiperboloid cu o singură coloană sau a unui paraboloid hiperbolic. Ideea este că numai aceste suprafețe de rotație de ordinul doi au generatoare rectilinii: astfel, o structură curbată poate fi construită numai din grinzi drepte. Avantajul unor astfel de structuri este capacitatea lor de a rezista la sarcini mari, de exemplu la vânt: forma hiperboloidă este folosită la construcția de structuri înalte, cum ar fi turnurile de televiziune.